基于MATLAB的单级倒立摆LQR控制算法仿真

瓮振永 吴凡 吴守川

摘 要：倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定的动态系统，对于倒立摆的控制研究无论在理论研究上亦或是工业复杂控制对象的控制方法上都有深远的意义。本文主要研究内容是：首先概述倒立摆系统研究的背景及意义；介绍倒立摆组成并对单级倒立摆模型进行建模；研究倒立摆系统的LQR控制方式，并设计出对应的控制器，以MATLAB软件为平台经行模拟仿真实验并对LQR控制效果进行总结。

关键词：倒立摆；LQR控制算法；MATLAB仿真

1、倒立摆系统研究背景及意义

倒立摆控制系统是一个非线性动态系统， 是作为理论教学及开展各种控制实验的理想平台。许多抽象的控制概念如控制系统的稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以利用倒立摆系统直接的展现出来。

除了用于教学，在自动控制领域中，倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性使得许多现代控制理论的研究人员一直将它作为研究对象。他们通过对倒立摆系统的研究出新的控制方法，并将其应用于航天科技和机器人学等各种高新科技领域。倒立摆仿真或实物控制实验，已成为检验一个新的控制理论是否有效的试金石，同时也是产生一个新的控制方法必须依据的基础实验平台。

2、单级倒立摆的数学模型

图1单级倒立摆系统的原理图。若不给小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆出现偏角时，在水平方向上给小车以作用力，通过小车的水平运动，使倒摆保持在垂直的位置。即控制系统的状态参数，以保持摆的倒立稳定。

3、LQR控制及MATLAB仿真

线性二次型最（LQR）优控制算法的目的是在一定的性能指标下，使系统的控制效果最佳，即利用最少的控制能量，来达到最小的状态误差，以下将利用最优控制算法实现对一阶倒立摆系统的摆杆角度和小车位置的同时控制。

本文所用参数为M = 0.5；m = 0.2；b = 0.1；I = 0.006；g = 9.8；l = 0.3，均为国际单位制。编写MATLAB程序：

采用LQR方法则首先需将上述参数代入状态空间方程，求出状态矩阵A，输入矩阵B。输出矩阵C只有两个1，分别代表小车位置、摆杆角度，传递矩阵为0。

接下来利用命令lqr得到系统的反馈增益K，然后通过调整矩阵Q 和R 来获得满意的响应效果。经过多次仿真试凑，当R=10、Q11=5000、Q33=100时，小车位置能够准确地跟踪输入信号，摆杆的超调量足够小，稳态误差、上升时间与调整时间也基本符合设计指标求。仿真结果如图2。

这时如果再增大Q，系统的响应还会有所改善，但是在保证Q足够小并兼顾其它响应指标时，系统响应已经能够满足要求了。研究发现Q和R矩阵之间有如下规律：当R 阵的权值增大时，被控量幅值显著减小，其对应的动态性能指标有所改善，但并不著，当Q矩阵中某一元素的权值增大时，与其相对应的动态响应过程好转，系统快速性得到明显提高，与此同时，也引起了一些振荡，而被控量的幅值由小到大明显大。

4、LQR控制效果总结

最优控制理论是现代控制理论中的重要内容，过去因为许多复杂的计算难以实现，但随着计算机技术的不断进步，复杂的计算可以通过计算机进行处理，因此最优控制在工程技术应用的越来越广泛。

最优控制算法（LQR）的目的是在一定性能指标下，使系统获得最佳的控制效果，达到最小的状态误差。

在仿真的过程中首先对倒立摆系统如何缩短稳定时间和上升时间进行了仿真，通过不断的调试，使得系统的响应时间满足了设计要求。然后为了使系统输入和反馈的量纲相互匹配，给输入乘以了增益Nbar，然后進行仿真之后使得小车位置跟踪输入信号，而且摆杆超调最够小，稳态误差满足了要求，上升时间和稳定时间也满足设计指标。

参考文献：

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