浅析三角函数公式的运用

福建省三明市第九中学 周 赟

纵览全国近五年的试卷，可以发现解答题对数列和三角函数这两块主干知识的考查是交替出现的.全国卷除侧重于解三角形，一般都考查基础知识和基本技能，难度属中、低档，解答题题序相对稳定，那么我就三角函数的几个考查热点进行简单的分析.

纵观2011年～2015年全国新课标（Ⅰ）卷，高考试题对三角函数部分的考查，本文就选取以下三个热点进行简单的分析：

（1）任意角的三角函数；

（2）应用同角变换、诱导公式、两角和与差的三角函数公式；求值和等式证明问题；

（3）三角函数概念的理解.

1.三角函数内容最大的特点就是公式多，变换的形式和方法多，如何找准方向，灵活运用三角函数公式，使学生学会公式的“正用、逆用、变用、巧用”是解题的关键.

例1．设α为锐角，若则的值为_____．

解：∵α为锐角，即，

2.存在问题：这道填空题必须注意三角函数的化简、求值，观察已知与未知之间的差异，联想公式的内在联系，通过拆、配等方法分析和解决问题.但在实际教学中，本题角的关系相对隐蔽，想要发现它们的内部共同特征是不容易的，如果发现不了这个公式的本质联系就不能有效地实现配角、凑角.

教学实录：对例1.学生主要出现三种思路：

经过换元，变逆向问题为正向问题，解题的方法一目了然，不用配凑，直接运用公式进行计算的步骤，我们都知道其实算法的核心思想就是可以找到解决问题的通解通法.在我们的日常教学中，解决问题的方法要争取到算法这个层次，形成通法通性.我们观察到课本中经常出现的有关凑角，配角，整体代换的运用，那么我们到了复习课上仍然有很大一部分同学使用思路1在解题，那么问题就来了，我们的学生为什么就想不到整体换角这个思路呢？我想这里最为客观的一个原因是我们在教学中没有足够重视课本的教学，从而忽视对课本的深度开发与发掘.

又如例2《.必修4》习题3.1A组第4题：

例 2. 已知α，β都是锐角，

实际上上面2个例子在本质上是同一类型的题目，一样可以将α+β看作一个整体，引入一个记号γ来表征，即设α+β=γ，则α=γ-β这样，例 2就可以改写为：已知为锐角，求 cos（γ-α）的值.

例题1是让学生直接运用公式解题，而例题2是想通过角的“整体”代入后再运用公式解决问题，后面的问题是前面问题的自然拓展.有了初步的认知我们就可以更进一步去引导学生使用角的整体代换这一方法，从而去发现问题的本质.

那么接下来我们继续深入的挖掘课本资源，课本中在用向量数量积的方法推导出两角差的余弦公式 cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，用 -β代换β，得到 cos（α+β）=cos[α-（-β）]=cosαcos（-β）+sinαsin（-β）=cosαcosβ-sinαsinβ，推导出两角和的余弦公式co（sα+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.运用单位圆的三角函数定义推导出诱导公式代换α，得即同样也推导出两角和的正弦公式

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

上面用-β代换代换α，都体现了变量代换的数学思想方法，故在教学中我们要一步一步的去引导学生用变量的思想来解公式中的角——公式中的角某某其实就是一个数，一个式子而已.考试大纲中要求学生学会推导和差化积的这个公式.

有以上的这些认识，大家就寻找到角代换方法的着陆点.

3.教学反思：对数学公式的教学要多比较各种方法的优劣，抓住问题的本质，加深学生印象.并及时总结出常见角的变换方法有等等.可以在课堂上让学生熟悉一些常见的恒等变形代换，如“1”的 代 换 ，1=cos2θ+sin2θ=tanθ·cotθ=tan45°，又如分拆项：2sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）+sin2x=1+sin2x，引入辅助角把不同名函数化同名函数等，有利于培养学生化归与转化思想，培养学生的计算能力及逆向思维能力，克服逆用公式这一困难，灵活运用公式.

开拓学生思维，培养学生的数学思想方法是问题的关键.在平时的教学中，教师要注意教学思维训练，克服单向性、定向性.通过训练让学生亲自体验如何利用角之间的倍、半、和、差等关系进行变角，如何将条件角转化为目标角，将目标角用条件角表达，如何进行降幂与升幂、切化弦、常值代换等.而且把这些训练渗透到平时的教学中，并注意引导学生进行及时总结归纳，提高学生对问题分析及对知识的灵活应用的能力.

1.三角函数的坐标定义是研究三角函数的基础，如三角函数的符号，同角三角函数公式的推导，三角函数的图像都是与定义或其几何意义紧密联系.

例 3.在平面直角坐标系中，O（0，0），P（6，8），将向量按逆时针旋转

后，得向量—O→Q则点Q的坐标是（ ）

本题体现三角函数与向量的内在联系.入口宽，方法多，活而不难，注重通性通法，淡化特殊技巧，突出了对学生灵活运用知识能力的考查，将向量的旋转与三角函数定义结合. 可设则

2.存在问题：学生对如何利用单位圆“活化”三角函数的有关知识，感到困惑.在教学中重视利用三角函数线直观展示其定义域、值域、单调性、周期性、最值、对称性等，进一步指出两角和与差的三角函数公式是“圆的旋转对称性”的解析表述.让学生理解三角函数的图像与性质即是单位圆的性质的体现.课堂教学中以“已知，求证：sinα＜α＜tanα”为例加强训练.

3.教学反思：三角公式的确多，在平时的教学中除了引导学生记忆、运用公式外，应重视数学概念的教学.引入“单位圆定义法”是新教材内容，可以帮助学生直观而具体认识任意角三角函数概念，也能使我们方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、最值、诱导公式、周期性、单调性，应注重概念的生成发展过程，理解三角函数最本质的问题，注意引导学生突破定义，真正会运用定义解题.

[1]刘绍学等.普通高中课程标准实验教科书——数学（必修4）.人民教育出版社.

[2]普通高中数学课程标准（实验）.中华人民共和国教育部.人民教育出版社.