应用正、余弦定理判断三角形的形状例谈

摘要：正、余弦定理揭示了三角形中的边、角关系，是三角函数知识的重要组成部分，运用正（余）弦定理来正确判断三角形的形状，是较为高效、简便的一个途径。将已知条件转化为边的关系或角的关系，然后进行判断。这是解决这一类问题的基本思路和基本方法。

关键词：正弦定理；余弦定理；三角形形状

判断三角形的形状是几何学习的难点，解决的途径不一而足，但运用正（余）弦定理来正确判断三角形的形状，无疑是较为高效、简便的一个途径。正、余弦定理揭示了三角形中的边、角关系，是三角函数知识的重要组成部分；其灵活应用之一，就是判断三角形的形状。下面就这一问题做一下探究。

一、 正弦定理在判断三角形的形状时的应用

【例1】已知△ABC中，设BC=a，CA=b，AB=c，则a·b=b·c=c·a，判断△ABC的形状。

要判断△ABC的形状，就要首先明确知道△ABC的三条边或者三个角，进而明确向量的数量积和△ABC的边角关系。

解：如图：a·b=b·c得

∵|a|·|b|·cos（π-C）=|b|·|c|·cos（π-A），

∴|a|·cosC=|c|·cosA。

由正弦定理：a∶c=sinA∶sinC得sinAcosC=sinCcosA，

∴sin（A-C）=0。

又∵ -π

∴ A-C=0，即A=C。

同理由a·b=c·a可得：B=C，

∴A=B=C，即△ABC为正三角形。

由asinA=bsinB=csinC=2Ra∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC可知，题目中出现了边的齐次式之比时，就可以利用正弦定理把相应的边化成角，在此基础上判断三角形的形状。

【例2】在△ABC中，若a2tanB=b2tanA，判断△ABC的形状。

分析该题目的已知条件，然后正确使用正弦定理，将边化角后判断△ABC的形状。

解：在△ABC中，有正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2Ra=2RsinA，b=2RsinB。

∵a2tanB=b2tanA，∴（2RsinA）2·sinBcosB=（2RsinB）2·sinAcosA2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B，因为A、B为三角形的内角，

∴2A=2B或2A=π-2BA=B或A+B=π2，

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形。

综合以上两个例题可以看出，要简洁明了地判断三角形的形状，可以运用正弦定理将已知的条件转化为角的关系，然后运用诱导公式将条件化简、整理。这是解决这类问题的高效途径之一。

二、 余弦定理在判断三角形的形状时的应用

【例3】在△ABC中，若B=60°，2b=a+c，试判断△ABC的形状。

要判断三角形的形状，可以从两个角度入手：一个是从边的关系，一个是从角的关系。前者要把角转化为边，后者要把边转化为角。

解：由余弦定理：b2=a2+c2-2bccosB，又∵B=60°，b=a+c2，

∴a+c22=a2+c2-ac（a-c）2=0a=c，

∴a=b=c，∴△ABC为正三角形。

【例4】在△ABC中，若cos2A2=b+c2c，试判断△ABC的形状。

解决这个问题的诀窍在于降幂公式，利用它把已知的条件转化为三角形的内角和边的关系，然后进行判断。

解：∵cos2A2=b+c2c，

∴1+cosA2=b+c2ccosA=bc，

即b2+c2-a22bc=bcc2=a2+b2，

∴△ABC為直角三角形。

由以上两题可以看出，要判断三角形的形状，通常要运用正（余）弦定理来代换转化，经过化简和整理，利用边（角）关系来进行判断。如果边角混合，通常要运用正（余）弦定理把边换成角或者把角换成边，将已知的条件全部转化为边或角的关系，然后进行判断。

综上所述，要判断三角形的形状，关键就在于把已知的条件转化为边或角的关系，然后进行判断。这是解决这一类问题的基本思路和基本方法，只有在正确认知的基础上熟练运用，才可以更加熟练、准确地判断三角形的形状。

参考文献：

[1]陆海波.正弦定理的应用[J].郴州师范高等专科学校学报，2001，02.

[2]黄汉禹.对正弦定理和余弦定理的研讨[J].数学通讯，2011，06.

作者简介：

魏雅宁，山东省东营市，广饶县第一中学高三（3）班。