论一元二次方程的特殊解法

摘要：对于一元二次方程的解法，教材上介绍的方法有直接开方法、配方法、公式法和因式分解法。但是有些方程用上述那些解法可能会比较繁琐，在这里我们引进一些新的解法，可以一定程度上简化求解过程，使得解题更加简便。以下就是对这几种特殊解法的概述。

关键词：一元二次；因式分解；积差法；数形结合

一、 满足特殊条件的一元二次方程的解法

若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的系数满足a±b+c=0时，则方程的根为x1=±1，x2=±ca。

证明：如果a+b+c=0，则a=-b-c…①，根据求根公式x=-b±b2-4ac2a，将①式带入，可得x=-b±b2-4c（-b-c）2a=-b±b2+4bc+4c22a=-b±（b+2c）22a即x1=-b+（b+2c）2a=2c2a=ca，x2=-b-（b+2c）2a=2（-b-c）2a=2a2a=1。

对于a-b+c=0的情况，证明过程与上述相似，在此省略。

具体解法：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的系数满足a+b+c=0，由于有一个根为1，故可将方程左边先分解出一个因式（x-1），然后根据二次项ax2的因式为x和ax，常数项c的因式为-1和-c，则方程的另一个因式为（ax-c），即方程可分解为（x-1）（ax-c）=0，所以解得方程的根为x1=1，x2=ca。对于a-b+c=0的情况解法类似，故省略。

【例1】解方程9406x2-8289x-1117=0

解析：这个方程各项系数的绝对值都比较大，用传统的方法求解计算量很大，容易出错。仔细观察原方程，发现各项系数的和为零，根据上述性质可知，方程有一根为1。因此方程左边可分解为（x-1）（9406x+1117），从而解出方程。

解：观察可知方程有一根为1，则方程可分解为（x-1）（9406x+1117）=0。

解得x-1=0或9406x+1117=0

∴x1=1，x2=-11179406。

二、 积差法解一元二次方程

积差法是将一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的常数项移到右边，然后对左右两边的式子进行配凑、分解，使得两边各因式的差相等，再根据因式大小对应相等而求出方程的解。

具体操作如下：

对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），利用积差法求解步骤为：

第一步：移常数项，ax2+bx=-c；

第二步：提取公因式x，x（ax+b）=-c；

第三步：两边同乘系数a，ax（ax+b）=-ac；

第四步：令-ac=m，则方程为：ax（ax+b）=m；

第五步：观察方程两边因式的差，由于左边两因式ax与ax+b的差为b，如果m=m1×m2或m=（-m1）×（-m2）（m1

第六步：根据因式对应大小写出等式，若ax

以下是利用此方法解方程的具体实例。

【例2】解方程2x2-11x+5=0

解：移常数项，得2x2-11x=-5，

提公因式，得x（2x-11）=-5，

两边同乘2，得2x（2x-11）=-10，

（由于2x与2x-11的差为11，所以-10分解的两个因数的差也应该为11）

右边写成乘积形式2x（2x-11）=-1×10

或2x（2x-11）=-10×1，

按大小对应等式，2x=10或2x=1，

（也可写成2x-11=-1或2x-11=-10）

所以x=5或x=12，

即x1=5，x2=12。

三、 数形结合法解一元二次方程

对于一元二次方程ax2+bx+c=0（ac<0），将其化为x（ax+b）=-c，利用数形结合法求解如下：

1. 当a=1时，方程为x（x+b）=-c，构造一个边长为x和x+b的矩形，则其面积为-c，再把四个矩形拼成一个大的正方形，正方形的边长为（x+x+b），如右图所示，根据S大正=4S小矩+S小正，得出方程（2x+b）2=-4c+b2，然后利用直接开方法即可求出方程的解。

2. 当a≠1时，在方程的两边同乘a，得ax（ax+b）=-ac，构造一个边长为ax和ax+b的矩形，则其面积为-ac，用与上同样的方法得出方程（2ax+b）2=-4ac+b2，最后直接开方得出方程的解。

【例3】解方程3x2+4x-7=0

解：这里a=3，b=4，c=-7

根据数形结合法，方程可变形为：

（2·3x+4）2=-4×3×（-7）+42，即

（6x+4）2=100

直接开方，得6x+4=±10，

可解得，x1=1，x2=-73。

以上便是对一元二次方程几种特殊解法的详细介绍，可根据具体题目灵活运用，熟练掌握这些方法，可以快速、准确的解答此类题目。

参考文献：

[1]罗增儒，李文铭.数学教学论[M].陕西师范大学出版社，2003.

[2]张奠宙，李士.数学教育学导论[M].高等教育出版社，2003.

[3]罗小伟.中学数学教学论[M].广西民族出版社，2000.

[4]唐瑞芬，朱成杰.数学教學理论选讲[M].华东师范大学出版社，2001.

作者简介：

余望鸿，福建省漳州市，厦门双十中学漳州校区。