例谈数形结合在求曲线交点个数、求最值教学中的应用

摘 要：数形结合法不仅在数学教学中有着广泛的应用，而且在近几年的高考试题中多次出现，因此引起了广大数学教师的重视。笔者在此就数形结合法在求曲线交点个数或求方程的根，以及求最值教学中的应用谈了自己的做法。

关键词：数形结合；数学教学；应用举例

一、 数形结合在求曲线交点个数或求方程的根教学中的应用

例1 方程lgx=sinx的實根的个数是（ ）

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

分析：作出y=lgx和y=sinx的图象如图1，从图1可知，当0

例2 椭圆（x+1）24+y2=1和抛物线y=1-（x+1）2的交点个数是

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

分析：如图作出椭圆和抛物线的草图如图2，从图可知两曲线的交点个数为3，即选D。

二、 数形结合在求最值教学中的应用

例1 如果x、y满足（x-2）2+y2=3，求yx的最大值（ ）

A. 12

B. 33

C. 32

D. 3

分析：x、y满足的方程对应的曲线是以（2，0）为圆心，3为半径的圆（如图3）。记yx=k，即y=kx，它表示过原点（0，0）斜率为k的直线。显然，当直线与圆相切时k取最值。由

|2k-0|k2+1=3

得k2=3

∴k=±3

因此，k的最大值为3，故选D。

例2 若点A坐标为（3，2），点F为抛物线y2=2x的焦点，设P在抛物线上移动，为使得|PA|+|PF|取得最小值，则点P的坐标为（ ）

A. （0，0）B. （1，1）

C. （2，2）D. （1，2）

分析：抛物线y2=2x的焦点为F（12，0），准线为l：x=-12（如图4）。由抛物线的几何性质知PF与P到准线l的距离相等，于是，若过P作PQ⊥l于点Q，则|PQ|=|PF|，从而|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|为了使右式最小，其充要条件是A、P、Q三点共线，故yP=2，因此选C。

作者简介：

耿娜，辽宁省本溪市，本溪市高级中学。