中澳初中数学教科书习题情境的比较分析
——以“统计与概率”领域为例

朱 琛 唐恒钧 徐元根

(浙江师范大学教师教育学院，浙江 金华 321004)

强调数学与现实生活、其他学科间的关联是新世纪以来数学课程改革的一个重要理念[1]。《义务教育数学课程标准(2011版)》(以下简称《课标》)在基本理念中指出：“课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。”[2]同时，认识到数学各个领域与现实生活及其他学科领域之间的联系也是《澳大利亚数学课程》《The Australian Curriculum Mathematics》(下简称《ACM》)中的理念之一[3]。因此，数学教科书应如何设置情境以实现上述理念成为一个值得关注的问题。

就具体课程领域而言，“统计与概率”领域的情境设置值得更多的关注与研究。这是因为，概率统计作为处理数据、进行决策的有效工具，被广泛地应用于当代社会中；中小学的统计与概率课程在内容上也与现实联系得更为紧密，常以现实问题为背景，以解决现实问题为目的。因此，对统计与概率课程的情境分析具有重要意义。基于此，本文将对我国和澳大利亚的数学教科书中“统计与概率”习题的情境加以分析，以期为统计与概率课程的设计和教学提供借鉴与启示。

一、研究设计

1.研究对象

本文以人民教育出版社出版的6册初中数学教科书[4](以下简称《数学》)和澳大利亚Pearson出版集团出版的4册《PERSON Mathematics 7-10》[5](以下简称《PM》)教科书为文献分析源。在分析过程中，《数学》中的习题包括在教科书正文中的“练习”、正文结束后的“习题”以及每一章结束后的“复习题”。《PM》中的习题以“Navigator”的形式出现在正文之后，每一章结束部分还有“Chapter review”。选取的章节内容见表1。

表1 中澳教材“统计与概率”内容的相应章节选取

2.分析框架

本文选取以下三个维度对习题的情境进行分析：情境来源；情境与习题的整合程度，即情境的真实性程度；习题情境与习题功能的匹配度。

(1)习题情境的类型。“数学情境”是产生数学概念、发现数学问题、提出数学问题和解决数学问题的背景、前提、条件和基础[6]。吕传汉、汪秉彝将情境取材分为7类[7]：从现实社会人们关注的问题中取材；从实际生产生活中取材；从数学史实、中外名题中取材；从例题、习题、升学题、竞赛题中取材；从自然科学中取材；从人文学科中取材；从地方、民族文化特色中取材。傅赢芳、张维忠从文化相关性的视角对中英两国初中数学教材中应用题的情境文化性进行了探索和比较，将情境分为5类[8]：与社会生产的联系；与社会服务行业的联系；与社会问题的联系；与其他学科的联系；与学生日常生活的联系。PISA根据情境与学生实际生活的距离，把问题情境划分为4类[9]：个人情境；教育与职业情境；公共情境；科学情境。比较上述分类可以发现，傅赢芳等提出的情境分类和PISA的情境分类均更多地关注了数学与现实生活的关联，而对历史、文化传统等关注不多。吕传汉等的框架中则关注到了文化传统，但对现实生活的分类又有一定的交叉。以上述三个框架为基础，基于数学文化的相关研究，本文在分析过程中将情境分为5类：个人情境、职业情境、公共情境、科学情境、文化情境(如表2)。需要指出的是，为了避免“文化情境”与之前4类情境之间的交叉，这里的文化情境作狭义的理解，即仅指传统的民族文化、地方文化以及外来文化等数学习题情境。

(2)习题情境的真实性程度。情境与习题中的数学问题的整合程度是情境设置中的一个关键问题。 “基于问题的学习”(Problem-based Learning，PBL)强调将问题设置在具体的、源于或贴近现实生活的真实情境中。在信息爆炸时代，“统计与概率”这一领域的学习，强调解决实际问题时的应用性。因此，再将情境分为真实性情境与非真实性情境(如表3)。真实性情境的分析不只是适合于与学生生活相关的几类情境，其中数学史中真实的数学实验、真实的人口数据统计等也属于真实性情境。

表3 真实性情境与非真实性情境

(3)习题功能的分类。创设习题情境的核心目的是为了更好地实现习题的功能，因此不同功能定位的习题对情境的创设提出了不同的要求。《课标》将课程目标分为知识与技能、数学思考、问题解决、情感态度等四个维度。具体到统计与概率的教学，则可以包括统计知识与技能、统计思想、统计问题解决和统计情意四个维度，而相比于统计情意隐性并普遍地存在于习题之中，另三个维度则在习题中表现得更为显性。基于此，笔者将统计与概率习题按(显性)功能由低到高分为三类：知识技能型习题、思想型习题和问题解决型习题(如表4)。当然一题中常会涉及多种功能，本文在分析过程中只取最高层次的功能。

表4 习题的功能分类

二、研究结果

根据以上框架，对两国数学教科书中“概率与统计”领域的习题情境进行分析，得到以下研究结果。

1.习题情境类型的比较

两个国家不同类型情境所占比例存在显著差异(卡方值为18.017，P≈0.003<0.05)(如表5)，其背后呈现着不同的价值取向。

表5 中澳“概率与统计”习题的情境分类统计

(1)无情境。在人教版《数学》“统计与概率”领域的习题中，无情境的习题占了24.4%，较澳大利亚的习题占比更低，可见人教版《数学》更强调在具体情境中去解决问题。

(2)个人情境。个人情境包括个人的学习活动、家庭活动、同龄群体活动等。总的来说，在个人情境取材方面，《数学》的百分比高于《PM》。更具体地，存在以下差异：首先，《PM》较关注家庭活动与同龄群体活动，如私家车的品牌、同朋友旅游情况等；《数学》更关注学习活动，《数学》个人情境中涉及体育成绩、期中考试成绩、歌唱赛打分等学习生活。其次，《PM》习题的个人情境变换繁多，如宠物的饲养、音乐风格、购物时间等，习题情境的趣味性强，具有多样性；《数学》的情境取材结合我国实际情况，考虑到城乡差异，情境取材也更具普遍性与基础性，如体重调查、篮球运动等。

(3)职业情境。习题中的职业情境与两国的文化背景、经济状况等有着不可分割的联系。澳大利亚是世界上放养绵羊数量和出口羊毛最多的国家且旅游资源丰富，具体的情境设计有涉及羊毛商品数量、来澳游客居住的酒店类型等。但总体来说，《PM》中属于职业情境的习题所占比值并不高。中国是一个农业大国，因此会出现与种植业相关的情境，如产业田的面积、小麦产量、瓜果产量等。《数学》中的职业情境一方面取材于农业生产，另一方面工人检测产品合格率这一情境也多次出现。

(4)社会情境。在社会情境中，两国均关注了体育竞技、环境保护、人口统计等社会问题。例如，澳洲是一个体育运动大国，《PM》将各类体育竞技纳入习题情境中。具体地，有关足球的情境在习题中出现14次，涉及澳式足球联盟(AFL)的情境出现6次，这也契合当地公民的兴趣。《数学》中关于体育的情境也结合本国实际，多是乒乓球赛、篮球赛。在环境保护上，两国都同时提供了温室效应、水资源枯竭等情境，以期教育学生爱护环境。另外，《PM》还涉及有关政治的素材，如设计了选举总统时选民的投票、政党投票等内容。

(5)科学情境。由表3可以看出，两国在习题情境设置中均没有很好地体现数学与其他学科的联系。并且两国的人文学科类情境的习题数量均为0。但与《PM》相比，《数学》的习题情境设置涉及物理、生物、地理等学科。例如，《数学》九年级(上)复习题中有以下问题：已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，分别求在一定时间段内，A、B之间和C、D之间电流能够正常通过的概率。上述习题将数学与物理相结合，体现了数学在其他学科中的应用。要拓展学生的知识面，就应将数学学科与其他学科结合，交叉学习，这样各个领域的知识才能够相互启发、互为补充。

(6)文化情境。澳大利亚是奉行多元文化的移民国家，澳大利亚数学课程重视数学文化，并关注传递多样的文化观念[10]，在课程建设中极为重视土著文化等非主流文化与学校课程的融合[11]。《PM》在“概率与统计”这一领域中，文化情境共计4题，其中涉及土著文化情境的习题为1题，习题情境中涉及班级里不同国籍的学生人数、不同的瞳孔颜色等为3题。我国义务教育阶段和高中的数学课程标准都强调了对数学文化的关注，但在《数学》“概率与统计”领域中，文化情境共计1题，且没有设置民族文化情境下的习题。

2.情境的真实性

“实际问题既是概率论与统计学的来源又是它们的归宿。”[12]传统教学中，教师往往给学生提供数据，直接引导学生如何整理、呈现数据，忽视数据收集的过程。通过对中澳初中学段“统计与概率”总体目标的比较，可以发现《课标》要求第三学段的学生能够收集、整理、描述与分析数据，注重知识与技能。

通过对两国习题的分析，发现两国习题情境的真实性也有较大差异(卡方值为7.270，P≈0.007<0.05)，详见表6。

表6 中澳“统计与概率”习题的情境真实性统计

《数学》中习题的真实性情境占到总习题数的7.6%，而《PM》则占到17.5%。除了所占比值有差异，两国习题真实性情境的处理方式上也存在着明显差异。具体地：《PM》中，习题情境中出现的气温、人口等统计往往具体到真实的地点；而《数学》中则常以“某地”“某队”“甲”“乙”等来呈现数据。《数学》中，每小节中都留有习题让学生自己进行调查，如统计同学们的生日月份、乘坐的交通工具等；而《PM》中，对真实问题进行调查的习题的比重较《数学》少。

此外，从报刊网页中提取、分析数据进而明晰问题的能力对于学生来说十分重要。《PM》中共有9个习题要求学生根据所给报刊信息来解决问题。具体地，要求学生自己先从给定原始资料中提取数据，并通过统计与分析后得出答案，例如，《PM 10-10A》中通过报刊数据提供了有关不同地区房价的上涨与跌落、房屋售出量等方面的统计信息。

3.习题情境与习题功能的匹配情况

结合第一个维度中对习题情境的分类讨论情况，将5类习题情境统一计为有情境。对《数学》与《PM》中相应习题做了统计之后，得到以下数据(见表7)。

表7 情境分类与习题功能

情境的价值在于使蕴含其中的问题变得更为接近现实，同时对学生统计素养提出了更高要求。也正因如此，这里的情境与习题功能的分析中除了有无情境之外，还要关注情境真实性的变化。从第二个维度来看习题功能与情境间的匹配性问题(见表8)。

表8 情境真实性与习题功能

相同之处：从知识技能型习题到思想型习题，两国习题中有情境习题的比例都呈上升趋势。知识技能型习题一般是对数学事实、概念、公式、法则、性质的回忆以及对数学常规解题程序的训练，因此对习题情境的设置没有提出高要求；思想型习题要求更深入地理解概念，能够对已学知识灵活运用等。随着习题的功能发生变化，习题对学生的要求也发生了变化。习题难度上升时，设置具体情境能够引起学生共鸣，因而从知识技能型习题发展到思想型习题，两国有情境习题的比例均有所上升。在习题情境真实性方面，由知识技能型习题到思想型习题，再到问题解决型习题，两国真实性情境的比例都逐渐上升。对于知识技能型习题而言，主要考察一些公式、定理的掌握，因此真实性情境的比重最低，这是合理的。当解决思想型习题、问题解决型习题时，真实性情境的比重逐渐上升，两国都表现出了这一特点。

不同之处：两国问题解决型习题的情境设置。《数学》中，问题解决型习题中有情境习题占了94.7%；而《PM》中，数值为70.3%。问题解决型习题具有非常规性，可以是对已学知识的拓展，建立数学模型来解决问题；也可以是数学猜想的形成和数学知识的创造性运用。《数学》中问题解决型习题几乎都是结合情境来解决问题，《PM》较重视对纯粹数学知识的探究。但与上述特点相反的是，《PM》问题解决型习题的真实性情境占比反超《数学》，分别占41.9%和15.8%。

三、若干启示

1.均衡习题情境的类型

首先，从学段特殊性这一角度出发，初中生处于青春期，对新鲜事物充满好奇。当习题设置的情境能够迎合学生的兴趣，抓住学生的眼球时，学生愿意去接受习题中所包含的信息。在个人情境中，密切数学与学生生活经验间的联系，促进兴趣的提升，降低学习难度。初中阶段也需要开始更多地关注社会情境，使学生从小养成社会公知，开阔国际视野；更关注科学情境，使各个领域的知识相互启发、互为补充。

其次，需要进一步强化文化情境的建设。《课标》中几乎没有提及少数民族文化，缺少对少数民族数学文化的介绍。随着我国人口流动越来越频繁，网络技术越来越发达，东西部交流越来越广泛，在数学课程中渗透多元文化的重要性也就越来越显著。数学文化是当前数学教育改革的热门话题。倡导中华文化，杜绝“去中国化”的倾向，更是历史赋予我们的责任[13]。在“概率与统计”领域的习题中加入传统文化，让数学与中国传统文化相融合。

2.加强习题情境的真实性

在《数学》中，习题中常出现含有“某市”“某支球队”“某人”等情境，数据常常是模拟真实情境的人造数据。当学生掌握了一定的知识后，应该考虑多让学生处理真实的数据，加入更多的真实性情境的习题。一是习题源自真实生活，学生容易接受；二是解决真实问题，能扩大学生知识面、强化知识活性；三是真实数据的处理，有助于增强统计意识。《数学》可借鉴《PM》中真实性情境的设置，如节选报刊中有适量数据的部分作为题干，对节选部分不做加工，只负责习题问题的提出。

3.加强习题情境与习题功能的匹配性

习题要能够结合情境以自然的方式给出学习任务所要解决的数学问题。当为了让学生掌握一些基础知识与基本技能时，无情境习题的出现无可厚非。如果为了培养统计意识，就需要加强真实性情境的建设，《数学》中问题解决型习题的真实性需要加强。“统计与概率”是应用性较强的内容，在问题解决型习题中增加真实性情境，是体现其应用性的一个着力点。不同的习题需要不同的情境与之匹配，发挥习题应有的功能。

总之，中澳两国在统计与概率习题情境的设计上各有特色，但仍需要习题情境类型的均衡性、习题情境的真实性以及情境与习题功能的匹配上作出更多的探索。

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