“鸡兔同笼”问题多种解决方法的课前思考

王相春

[摘 要]对于“鸡兔同笼”问题，不同的教材给出了不同的解决方法。通过分析四个解决“鸡兔同笼”问题的基本方法，即画图法、尝试与猜测法、列表枚举法、假设法，找出这几种方法的联系与区别，得出画图、尝试与猜测、列表枚举是渗透“假设”这种思想方法的途径，教师应运用这几种方法帮助学生积累数学活动经验。

[关键词]鸡兔同笼；画图法；尝试与猜测法；列表枚举法；假设法

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）35-0020-02

“鸡兔同笼”是我国1500年前数学名著《孙子算经》中记载的一道数学趣题。通过这样一道数学趣题，可让学生经历数学的探究过程，体验解决问题方法的多样性和灵活性，从中积累数学活动的经验，感悟“假设”等数学思想方法，并通过类似的情境感悟其中共同的数学结构，即数学模型。

“鸡兔同笼”是人教版教材《数学广角》中的一个内容，原编在第十一册，现编在第八册，它在北师大版、浙教版、西南师大版等教材中都有编排，只不过编排在不同的年级内容里。不同的年级对于解决“鸡兔同笼”问题的方法及其侧重点是不同的，如人教版教材安排“尝试、列表枚举和假设法”等解决方法，浙教版教材则给出“图示、不同的列表枚举”等解决方法，而北师大版教材则出现“尝试猜测、一一枚举和跳跃枚举”等解决方法。除了上述解决问题的方法之外，有的教材还增加了“方程”的解决方法。

众所周知，选择解决问题的方法让学生学习和体验，要考虑学生的年龄特点、已有的知识经验和理解水平。每一种方法各有各的解题思路，各有各的特点，这些方法也不是孤立存在的，它们之间存在着一定的联系。因此，解决问题的方法既要“求变、求理解”，也要“求联系”。当然，切忌揠苗助长，不管学生理解与否，各种方法都进行教学，让学生全盘接受是教学之大忌。

解决“鸡兔同笼”问题的方法比较多，本文以人教版教材第八册的内容为例，试着对常见的解决问题的方法，如画图、列表、假设等，进行课前思考与分析。

一、画图法

人教版教材没有出现画图法，但是给出的假设法对于四年级学生来说还是比较抽象的。因为此时的学生还处于具体运算阶段，逻辑思维能力还比较弱，尚不能完全脱离实物凭空地进行逻辑思考，形象思维要强于抽象思维。画图法对于理解数学事实或现实情境中的数量关系来说，具体而形象，是学生数学学习中不可或缺的一种数学语言。因此，在教学“鸡兔同笼”时，画图法被广泛采用，它既可以当成独立的解法，也可以当成辅助理解数量关系的必要手段。

用“O”表示头，用“”表示鸡的数量特征，即有一个头两只脚，用“”表示兔的数量特征，即有一个头四只脚。此时鸡和兔的外在属性被忽略了，只留下了表示数量特征的抽象符号。然而，学生在用这种抽象符号来解决“从头开始数，有8个头，从下面数，共有26只脚。鸡和兔各有多少只？”时，呈现出来的能力水平也是不同的：

一种是没有思路的，随便画，画时没有注意到题目中的条件，如“”，画了9个头；

又如“”，轮流画一只鸡一只兔，脚的总只数却不对；

还有就是先画8个头，如“”，再给每个头添上两只脚“”，最后添成26只脚，如“”。

当然，有些学生能根据题目中的条件边画边调整，如“”，脚多了，划掉两只脚。又如“”，先画8只兔，发现脚的只数不对，就去掉3只兔，改成3只鸡。

看来，用画图法来解决问题，大部分学生都需要教师的指导，或者让会画的学生来展示他们的画法，其余的学生从中学会画图。

不同的学生可以接受与其发展水平相适应的方式。用图形来表征数量及其数量关系，具体且形象，是一种比较恰当的解决问题的方法。当然，在用这种方法解决数据比较大的“鸡兔同笼”问题时，或者是其他类似问题时，也是有局限性的。

二、尝试与猜测法

“尝试”在这里指的是一种行为、一种活动、一种精神，也是一种挑战。“猜测”在这里指的是猜度，凭某些线索推断猜度。猜测是数学思维中的一个重要环节，它往往是一种直觉思维，对题目没有进行逐步分析，而是根据知识与经验，根据题中的一些线索，迅速得出问题的答案。在解决数学问题的过程中，尝试与猜测必不可少，既在尝试中猜测，也需要在猜测中尝试。

对于“鸡兔同笼”问题，可以让学生先根据题目中的条件，如8个头、26只脚，进行尝试与猜测，然后根据猜测的结果进行验证，如果得出的结果与答案不符合，再继续猜测、尝试与调整。根据课堂观察，学生往往用“假如（或如果）鸡几只、兔几只，脚的只数是多少”来表达他们得到的结论。根据学生的表達，教师可以把“尝试与猜测”分成“无序尝试与猜测”和“有序尝试与猜测”。“无序尝试与猜测”往往被视作一种“乱猜”行为，根据“8个头”，迅速做出一种直觉判断，好像鸡有3只，兔有5只，然后对脚的只数进行验证，如果不是，则马上调整鸡与兔的只数。“有序尝试与猜测”则是根据“8个头”这个条件，从1只鸡7只兔、2只鸡6只兔……依次从小到大或从大到小进行有序思考，或者从中间（即4只鸡4只兔）向两边递增或递减进行猜测与尝试，然后逐一进行验证，如果不是，则进行调整。

从调整的思路来看，也可以分成盲目性（随意性）调整、思考性调整、快速调整等。盲目性调整，是指学生猜测有2只鸡6只兔，验证发现共有28只脚时，却不知把鸡的只数调大还是调小而出现的盲目情况。思考性调整，是指学生在验证后，发现脚多了或脚少了，就知道是把鸡换成兔还是把兔换成鸡。快速调整是在思考的情况下，发现了脚增多或脚减少的规律，从而快速地找到准确的答案，没有依次地进行逐步调整。

尝试着猜测，或者猜测下进行尝试，都是一种非常好的数学思考方法与行为，应该给予支持与鼓励。猜测是一种创造性的思维方式，数学中那些精辟的结论、定理的得出，都离不开猜测，教师要鼓励学生大胆猜测，大胆地进行尝试。endprint

三、列表枚举法

各种版本教材给出的“鸡兔同笼”问题的解决方法中都出现了“枚举法”：用表格的形式一一记载所有答案，从中找到准确的答案。这种方法是根据题目中的一个条件，如共有8个头，把鸡（或兔）的只数逐个递增或递减，一一计算出脚的只数，从中找到答案。当然，用这种一一枚举的方法也要考虑极值的现象，如鸡0只兔8只或鸡8只兔0只的情况（这种情况学生往往不能理解，他们以为共有8只，不会出现0只的情况）。用一一枚举的方法虽然说能够找到正确的答案，但也比较费时。

与“一一枚举”相对应的是“跳跃式枚举”，“跳跃式枚举”是“一一枚举”的“增强版”，也是一种“假设法”思路的“提前版”。“跳跃式枚举”这种方法往往需要在一一枚举时，边列边思考，从数据变化中发现其蕴含的规律。如1只鸡换成1只兔，脚就会增加2只，或者说要想脚的只数增加，需要把鸡换成兔，想脚的只数减少，需要把兔换成鸡，从而快速地找到正确的答案。

因而，我觉得在解决“鸡兔同笼”问题时，在一一枚举的基础上，非常有必要进行跳跃式枚举的教学，让学生感悟这种思维策略，获得数学活动经验，为理解用假设法解决问题打好基础。

四、假设法

假设法，就是根据题目中的已知条件或结论做出某种假设，并以此为条件进行推理，以求出原题的答案。它是一种重要的数学思想方法，在解答数学问题时有着广泛的应用。因而，有必要让学生理解和应用这种方法解决问题。

假设“全部是鸡”或“全部是兔”的解题方法，对于学生来说还是比较抽象的，学生难以理解。假设法解题一般来说分成以下几步；一是假设全部是鸡或全部是兔；二是根据“全部是鸡”或“全部是兔”求出脚的只数；三是求出的只数与实际的只数进行相减，找出差距；四是算出一只兔与鸡的脚数之差；五是用包含除的方法求出结果，这个结果是鸡或兔的只数；六是求出另一类量的只数。对于学生来说，假设“全部是鸡”或“全部是兔”，既有可以理解的地方，也有不可以理解的范围。不可以理解的是“鸡兔同笼怎么会全部是鸡呢？”可以理解的是“假设全部是鸡或全部是兔，计算比较简单”。其中“4-2=2（只）”这一步是学生最难理解的，学生往往将其理解为是鸡的脚，实际上这是鸡兔互换的脚数差。对于包含除求出来的是鸡的只数还是兔的只数，学生往往不明白或者说经常产生错误，因而有些教师在教学时，常常让学生死记“假设鸡先求出兔，或者假设兔先求出鸡”这个结论。因此，要把上述的幾步列为教学的难点，通过一些方法让学生理解每一步算式。

画图法、尝试与猜测法、列表枚举法、假设法这几种方法之间有什么联系与区别吗？显然，它们之间是有紧密联系的，至少本质上是一致的，都是假设法的不同体现。画图需要假设，尝试与猜测实际上也是假设，列表枚举也脱离不了假设。每一种方法都是“假设—验证—调整”这样一种循环往复的思维过程，都是从简单操作的层面过渡到算式理解的层面，从操作的复杂化到列式的简单化，从前方法的局限性到后方法的适用性，从思维的低层次向高层次迈进，从形象具体到逐步抽象的过程。

因此，对于人教版教材四年级下册的“鸡兔同笼”问题，教师在教学时要舍得花时间，拓宽解题方法，把每一种方法上扎实、重落实，强化每一种方法之间的联系：如从画图得出答案，让学生尝试用算式表达思维过程；从跳跃式枚举中找到答案，让学生尝试用算式表达思维过程；用假设法列出的算式表达，让学生用画图法来理解每一步算式的意义，使理解变得更深刻。

（责编 金 铃）endprint