离散型随机变量的分布列、期望和方差高考链接

丁吉生

一、高考考情

离散型随机变量的均值与方差是高考的热点，主要考查同学们对取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的理解，要求同学们能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.如单独考查一般以客观题形式出现，主要考查利用公式进行计算，难度不大，若以解答题形式出现，一般不单独考查，常见命题方式有两种：一是与概率、分布列计算结合在一起进行考查，二是与统计结合在一起进行考查，难度中等.

二、要点整合

1.高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下三个命题角度：

（1）已知离散型随机变量符合条件，求其均值与方差；

（2）已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值；

（3）已知离散型随机变量满足两种方案，试作出判断.

2.求离散型随机变量均值、方差的基本方法

（1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义（公式）求解；

（2）已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η=aξ+b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；

（3）如能分析所给随机变量服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），可直接利用它们的均值、方差公式求解.

3.解答题中对期望与方差的考查常与分布列结合在一起进行考查，求解此类问题要先根据随机变量的定义，确定随机变量可以取哪些值，然后根據随机变量的取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据均值与方差的公式计算，若随机变量服从二项分布，可直接利用公式E（X）=np，D（X）=np（1-p）求解.

4.均值与方差的实际应用

对于均值与方差的实际应用，命题模式通常是已知离散型随机变量满足两种方案，试作出判断.求解这类问题要用到均值与方差.

（1）D（X）表示随机变量X对E（X）的平均偏离程度，D（X）越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D（X）越小，X的取值越集中在E（X）附近，统计中常用D（X）来描述X的分散程度.

（2）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.

三、考题选析

例1 （2017年新课标Ⅲ卷理）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

解：（1）由题意得，X可取200，300，500

点评：数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反应随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的3σ原则.