有关Riccati微分方程通解的几个结论

王明建， 王愉博

(1.郑州师范学院 数学与统计学院，郑州 450044； 2.郑州大学 信息工程学院 郑州 450001)

对于非线性Riccati微分方程

(1)

这里P(x)、Q(x)、R(x)都是关于x的连续可微函数，且P(x)R(x)≠0.

求方程(1)的通解是几百年来探讨而没有彻底解决的一个问题(参考文献[1]～[5]).问题总的目标是求方程(1)的通解，这就需要式(1)右边的函数可积，所以研究式(1)可积的充分条件就十分必要；当然式(1)可积的必要条件也是比较重要的，至于充要条件的获得可以说更是少之又少，原因是式(1)右边存在着非线性项P(x)y2.本文试图从方程(1)的特解的个数出发，来探讨式(1)的通解的形式和特点，以达到抛砖引玉的目的.

1 主要结果与证明

引理1[1]如果方程(1)有特解y=y1(x)，则式(1)可以化为n=2的Bernoulli方程.

证明做初等变换y=z(x)+y1(x)，把此变换代入式(1)，得

因为y=y1(x)是方程(1)的解，所以

引理2 如果方程(1)有特解y=y1(x)，则方程(1)的通解为

(2)

证明由引理1知

其通解为

所以(1)的通解为

定理1 如果方程(1)有特解y=y1(x)和y=y2(x)，且y1(x)-y2(x)=C≠0，则有

(3)

证明由已知条件，得

又y1(x)-y2(x)=C≠0，所以

P(x)(y1(x)+y2(x))+Q(x)=0，

即结论成立.

定理2 如果方程(1)有特解y=y1(x)和y=y2(x)，则有

(4)

证明由引理2，得

(5)

同理，有

(6)

式(5)比式(6)，得

定理3 如果方程(1)有特解y=y1(x)，y=y2(x)，y=y3(x)和y=y4(x)，则有

(7)

其中C是任意常数.

证明由定理2，得

(8)

所以

(9)

令式(8)中的y(x)=y4(x)，(9)式中的y(x)=y3(x)，那么

(10)

(11)

式(10)乘式(11)得

其中C是任意常数，故式(7)成立，即Riccati方程任意四个解的交比等于常数.

定理4 设曲线族为

(12)

则式(12)必是Riccati方程的解.

证明由定理3的结论知，

取y4(x)=y(x)，则

解得

令y1(x)[y3(x)-y2(x)]=φ1(x)，-y2(x)[y3(x)-y1(x)]=φ2(x)，y3(x)-y2(x)=Φ1(x)，-[y3(x)-y1(x)]=Φ2(x)，即得式(12)成立.

[1] 王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

[2] 蔡燧林.常微分方程[M].武汉：武汉大学出版社，2003.

[3] 丁同仁，李承志.常微分方程教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.

[4] 张锦炎，冯贝叶.常微分方程几何理论与分支问题[M].2版.北京：北京大学出版社，2000.

[5] 贺小明.常微分方程与动力系统概论[M].修订版.北京：北京理工大学出版社，2012.