一道数论竞赛题的解法探究

董忠民， 张 瑾， 杨小康， 赵 艳

(西安文理学院 信息工程学院，西安 710065)

这是一道数论与代数的综合题，结构简明，富于思考，对考生能力的要求较高.它主要涉及素数的概念、整除的性质、递推数列的有关知识等.由于要证明的结论是一个与正整数n有关的整除性问题，因此可考虑用数学归纳法[2-3].《中等数学》2016年第12期“2016年全国高中数学联赛加试题另解”一文中，其中第四题解法2思路清晰，解题过程简明[4].但是解法中的引理：对k=1,2，…，p-2，有

却当k=1,2时，显然不合理，改正后应该为：

引理改正后的解题过程为：

先证明如下引理.

引理得证.

下面用数学归纳法证明：bn∈Z(3≤n≤p-1).

假设当3≤n≤k(k≤p-2)时，bn∈Z，即

…,

由引理得bk+1∈Z.

根据数学归纳法知，对3≤n≤p-1，均有bn∈Z.

所以,对n=3,4,…,p-1均有n|pan-1+1.

另外，也可以不使用该引理，解题过程如下：

下面用数学归纳法证明：bn∈Z(3≤n≤p-1).

假设当3≤n≤k(k≤p-2)时，bn∈Z，即

…,

(p,(k+1)!)=1， (p+2,(k+1)!)=1，

故bk+1∈Z,

由数学归纳法知，对3≤n≤p-1，均有bn∈Z.

所以,对n=3,4,…,p-1，均有n|pan-1+1.

[1] 高越，张入文，任悦.2016年全国高中数学联赛加试另解[J].中等数学，2016(12)：15-17.

[2] 马兵.高中数学竞赛标准教材-专题分册[M].杭州：浙江大学出版社，2007：104-164.

[3] 葛军.新编高中数学奥赛指导[M].南京：南京师范大学出版社，2014：420-451.

[4] 赵文强.一道澳大利亚数学奥林匹克竞赛题的新解法[J].玉溪师范学院学报，2011，27(4)：68-69.