抽象代数中“变换群”概念的理解

冯玉明��

摘 要： 本文通过尝试用简洁的语言为初学《抽象代数》的学者讲解“变换群”的概念，通过几个例子解释“变换”和“变换群”，最后举例说明了两个变换不一定可以交换。

关键词：变换； 变换群；概念

一、 引言

《抽象代数》课程中的“变换”和“变换群”是学习的重点也是难点，对于初学者来说理解起来比较抽象，“变换群”也是他们接触到的第一个抽象群，因此，不太容易理解。本文尝试用比较浅显的例子来对这些概念加以理解。

二、 “变换”的定义

定义1 一个集合A到A的映射叫做A的一个变换.

例子1 A={a，b}，则集合A的变换一共有四個，分别是：

f1：a→a，b→b； f2：a→b，b→a； f3：a→a，b→a； f4：a→b，b→b

第一个变换f1是集合A的恒等变换，它将集合中的任一个元映射成这个元本身。

例子2 Rn是n维实列向量构成的集合，P为实数域是一起有逆的n×n矩阵的集合，任取P中一个元A，对于Rn中任意一个向量x，定义映射

τA：Rn→Rn

x→Ax

那么这么定义的映射是集合Rn的一个变换。并且，这个变换是一一的。显然，如果矩阵A为单位矩阵，那么τA是恒等变换。

三、 “变换群”的定义

定义2 一个集合A的若干个一一变换对于变换的复合做成的一个群叫做A的变换群。

例子3 把例子1中的两个一一变换放在一起构成一个集合G={f1，f2}，则这个集合构成变换群，其中f1是单位元，f2的逆元是f2。

例子4 把定义2中的所有变换放在一起构成一个集合G={τA|A∈P}，那么它就是一个变换群。事实上，τI为这个群的单位元，其中，I为n阶单位矩阵，τA-1=τA-1。

四、 “变换”不可交换举例

围绕着一个定点的旋转可以把平面上的所有点一一对应到平面上的所有点，所以，旋转可以看做平面上的一个一一变换。很显然，任何两个旋转是可以互换的，比如，先旋转α再旋转β与先旋转β再旋转α效果是一样的。

平移是平面上的另一种一一变换，同样，两个平移是可以互换的。但是一个平移和一个旋转就未必是可以互换的，也就是说，先平移再旋转与先旋转再平移的效果未必是一样的。例如，把（0，0）点向右平移一个单位到（1，0）点，再绕原点旋转π2，那么该点变为（0，1）。如果先把（0，0）点绕原点旋转π2，再向右平移一个单位，那么该点变位（1，0）。

参考文献：

[1] 张禾瑞.近世代数（修订本）[M].高等教育出版社，2013.endprint