求两条异面直线的距离

摘 要：求异面直线的距离的方法有很多，本文旨在遴选典型的例子展示先作出距离而后求之的策略，笔者通过一些例子来阐述这一观点。

关键词：异面直线；距离

【例1】 已知长方体ABCD-A1B1C1D1 中，A1A=a，AB=b，AD=c，求B1C与A1B的距离。

解：连A1D，DB，则平面A1DB与B1C平行，作BE⊥B1C于E，作EF⊥A1D于F，连BF，则B1C⊥平面BEF于E，且平面BEF与平面A1DB直交于BF。作EH⊥BF于F，则EH⊥平面A1DB，且EH之长等于异面直线B1C与A1B的距离。 在直角△B1BC中，

BE=B1B·BCB1C=aca2+c2，在直角△BEF中，BE已知，EF=b，

BF=BE2+EF2=a2b2+b2c2+a2c2a2+c2；EH=BE·EFBF=abca2b2+b2c2+a2c2即异面直线B1C与A1B的距离。

【例2】 已知长方体ABCD-A1B1C1D1 中，AA1=a，AB=b，AD=c，求BC1与A1C的距离。

解：连BD1与A1C相交于O，作OG∥BC1则平面OGC∥BC1，作CE⊥BC1于E，作EF⊥OG于F，连CF，则BC1⊥平面CEF，且平面CEF与平面OGC交于CF。

作EH⊥CF于H，则EH⊥平面OGC，且EH之长等于异面直线BC1与A1C的距离。 在直角△BCC1中，CE=BC·CC1BC1=aca2+c2，在直角△CEF中，CE已知，EF=b/2，

CF=CE2+EF2=a2b2+b2c2+a2c24（a2+c2）；EH=CE·EFCF=abca2b2+b2c2+4a2c2即异面直线BC1与A1C的距离。

【例3】 已知等边圆锥的底面半径为R，轴截面SAB的底角平分线为AC，又BD为底面的一条弦，且∠ABD=30°，求AC与BD的距离。

解：作圆锥底面的弦AF∥DB交圆周于F，连CF，则平面ACF∥DB. 设圆锥的高SO交AC于K，则KO⊥DB，过O作EG⊥DB交AF于G，连GK，EK则平面EGK⊥DB，且平面EGK与平面ACF直交于GK，作EH⊥GK于H.则EH⊥平面ACF，且EH之长等于异面直线AC与BD的距离。 在直角△KOA中，KO=AO·tan30°=33R

在直角△AGO中，KO=AO·sin30°=R2，于是EG=2GO=R。

在直角△KOG中，GK=KO2+GO2=216R； 在△EGK中，EH=KO·EGKG=277R

将以上三个例子中的异面直线抽象作m，n依三个例子中距离作法，可以得出作两条异面直线距离的一个简单的模式：

1. 经过与n平行与m相交的直线作出与n平行的平面α（如三个例子中的△A1BD，△OGC，△ACF所在的平面）。

2. 作出與n直交（垂足为W）且与平面α直交的平面β（如三个例子中的△BEF，△CEF，△EGK所在的平面）。

3. 在平面β内过W作与两个直交平面α，β交线直交的线段（如三个例子中的线段EH）此线段的长度即异面直线m与n的距离。

求线段的长度时只需解象征平面β的三角形，计算时常用到“三角形各边与其对应高的乘积相等”这一规律。

【例4】 已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，AC1是对角线，M，N分别是BB1，B1C1的中点，P是MN的中点，求DP与AC1的距离。

解：在原正方体的右边补出一个与之等体积的正方体（如图）连DF，PF，因DF∥AC1，故得到一个经过DP且与AC1平行的平面DPF（相当于模式1中的平面α）

连B1C，C1F1因为AC1⊥B1C，AC1⊥C1F，又作C1G⊥DF于G，连GF1，则AC1⊥平面C1F1G，于是DF⊥平面C1F1G，C1F1与DF相交于K，连GK，得到一个与平面DPF直交于GK的平面C1F1G（相当于模式2中的平面β）

连平面C1F1G内过C1作直交于GK的线段C1H（H在GK的延长线上如附图）C1H之长等于异面直线DP与AC1的距离。

连C1D，在直角△DC1F中，C1G=C1D·C1FDF=2·13=63，作KQ⊥C1F于R，则R为B1N的中点，从而，KQPR=FQFR，KQ1/4=1-KQ7/4，解得KQ=1/8，又C1Q=1/8，于是FQ=7/8且C1K=2/8，

在直角△PQK中，KF2=KQ2+FQ2=25/32

在直角△C1GF中，GF2=C1F2-C1G2=1-（6/3）2=1/3

在直角△FGK中，KG=KF2-GF2=25/32-1/3=258/24

在△C1GK中，C1K=2/8，C1G=6/3，KG=258/24，由余弦定理得∠GC1K=30

°，于是C1G·C1Ksin300=KG·C1H， 63·28·12=25824·C1H，解得C1H=8686，即异面直线DP与AC1的距离。

应用“模式法”解本题，要利用平移、补形等手段。读者利用此方法解答下面两个习题。

练习1：求棱长为1的四面体S-ABC中异面直线BC与SA的距离。（2/2）

练习2：已知正三棱锥A-BCD的侧面是边长为a的正三角形，E是CD的中点，求BC与AE的距离。2211a

解：作EF∥BC交BD于F，连AF，则得经过AE且与BC平行的平面AEF（相当于模式1中的平面α）

作DG⊥BC于G交EF于K，连AK，则得与BC垂直且与平面AEF平行直交于AK平面AGD（相当于模式2中的平面β）

在平面AGD内作GH⊥AK于H，则GH⊥平面AEF，且线段GH之长等于异面直线BC与AE的距离，依题意，正三棱锥A-BCD的棱长是为a的四面体，则正三棱锥A-BCD的高为AO=63a，因为EF是正△ABC的中位线，于是DG=32a，GK=34a.在等腰△AEF中，易求AK=114a，在△AGK中，

GK·AO=AK·GH，即34a·63a=114a·GH得GH=2211a即异面直线BC与AE的距离。

本文强调的观点是通过作图来求异面直线的距离，在作图过程中，我们可以通过多做一些分解的平面图，这样，能更直观些，同时可以转换为平面几何的问题处理。

作者简介：张国民，黑龙江省青冈县第六中学。endprint