初中平面几何习题课教学的基本图形建模研究

肖红

摘要：《义务教育数学课程标准（2001年版）》要求学生能从较复杂的图形中分解出

基本图形，通过比较、综合、归纳、模拟，运用典型的数学思维方法，经历典型的数学解决问题的过程，构建基本图形的数学模型，从感知不断发展上升为一种可以把握的能力。基于此，在初中数学教学中如何通过练习和图形建模，培育学生的观察能力、分析能力、动手能力乃至创新思维，是值得关注的重要课题。本研究试图通过图形建模教学和训练，回应上述问题，并从中找到解决问题的突破口。笔者通过对课本例题和习题深入挖掘，通过一题多变、一题多解、多题一解，探求其中的联系或规律，培养学生举一反三、触类旁通、运用所学知识解决数学问题的能力。

关键词：几何习题课；图形建模；三角形；建模构建

一、 问题的提出

《义务教育数学课程标準（2001年版）》中把“空间观念”作为义务教育阶段培养学生初步的创新精神和实践能力的一个重要学习内容。能从较复杂的图形中分解出基本图形，通过比较、综合、归纳、模拟，运用典型的数学思维方法，经历典型的数学解决问题的过程，构建基本图形的数学模型，从感知不断发展上升为一种可以把握的能力。初中学生学习几何都有这样的感受：几何题浩如烟海且千变万化，有些学生概念、公理、定理背得烂熟，但一解题往往不知从何下手；有些学生听老师讲题明明白白，可自己动手解题却又无计可施；有些学生题做了不少，但一见难题又一筹莫展，总之他们都有这样的感慨：怎样才能学好几何呢？有什么好的方法吗？新课教学受到每一位老师的重视，而且有很多的教学模式可以借鉴。对于习题课教学需要老师自己去构思去收集，每个老师有每个老师的思维和方法，没有什么固定的教学模式，可谓是百花齐放各显神通。习题课教学不仅仅是根据新课知识解题做题，更重要的是解决问题，体验数学思想和方法，培养分析问题和解决问题的能力。在几何习题课教学中始终贯穿基本图形建模有利于学生掌握所学知识点以及培养学生的逻辑思维和创造思维，熟练掌握基本图形模型才能更好地从复杂图形中分离出基本图形或者通过适当的辅助线构建基本图形从而打开突破口，才不会在遇到复杂图形时一筹莫展。如何进行习题课教学？如何在几何习题课教学中进行基本图形建模？都是值得我们每一位老师研究的问题。下面我从课本一道题延伸开来探讨几何习题教学中基本图形建模的一种思路。

二、 基本图形建模的过程与设计

首先立足课本，从课本习题入手引入问题，再通过对习题的变式、迁移、拓展进行类比探究寻找规律发散思维，从而探寻在正方形中构建等腰直角三角形、在等边三角形中构建等边三角形、在一般图形中构建等腰三角形并且同时构建全等三角形、相似三角形基本图形模型的思维和方法。

（一） 引入：从课本习题入手

在八年级下册课本上有这样一道题：

如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点。∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF.

分析：经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M或者在AB上截取BM=BE，连接ME，则△BME是等腰直角三角形，从而得AM=EC和∠AME=∠ECF=135°，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF。

设计意图：回归教材，熟悉教材，寻求知识的生长点和知识的应用信息。

（二） 变式训练：一题多变，改变条件改变图形但思维方式不变

1. 从特殊到一般第一变——将“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，在图1基础上，作进一步的研究：

小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由。

分析：类比图1的证明，只需要得到AM=EC，而要得到AM=EC，可以直接截取AM=EC，再证明△BME是等腰直角三角形，或者在AB上截取BM=BE，连接ME，则△BME是等腰直角三角形，从而证明∠AME=∠ECF=135°；也可以直接作等腰直角△BME，从而得到

∠AME=∠ECF=135°，再证明AM=EC。然后易证△AME≌△ECF，所以AE=EF.

2. 从特殊到一般第二变——将 “点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”改为“点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点”。

在图2的基础上，再作进一步的研究：

小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立。你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由。

分析：类比图2的证明，依然是以BE边构造等腰直角三角形或者说是要得到AM=EC，所不同的是证明△AME≌△ECF时用到的是∠AME=∠ECF=45°而不是135°。

设计意图：通过点的移动进行变式训练，看似图形在发生变化，但基本图形模型没变，都是以BE边构造等腰直角三角形，思维和方法也没变，都是构造全等三角形，证明△AME≌△ECF从而让学生在遇到此问题时能很快找到切入口。

（三） 归纳：归纳知识点和归纳基本图形模型

由此题归纳相应知识点，让学生在具体应用中理解和掌握相应知识点和领悟相应知识点的灵活应用，并建立相应基本图形的模型，以便在复杂图形中能很快剥离出基本图形模型。

问题1：正方形边角有哪些性质？

正方形的四条边都相等，四个角都是直角。

问题2：等腰直角三角形有哪些性质？

等腰直角三角形的两条直角边相等，两个锐角都等于45°。

问题3：在正方形内如何构造等腰直角三角形？endprint

基本图形模型1：在正方形内任意作对角线的平行线与正方形的两边相交所构成的三角形都是等腰直角三角形；或者在相邻的两边上截取相等的线段所构成的三角形是等腰直角三角形。

如图4，正方形ABCD中，MN∥AC，则△BMN是等腰直角三角形；

或者在AB、BC上分别截取BM=BN，则△BMN是等腰直角三角形。

通过对正方形知识点的归纳掌握作平行线或者截取构建等腰直角三角形的基本图形模型。

（四） 迁移：寻找规律性——将正方形变为等边三角形

4. 如图，已知△ABC为等边三角形，过点C的直线a∥AB，D为直线BC上一点，E为直线a上一点，且∠ADE=60°。

（1） 若D在BC上（如图5），求证：CD+CE=CA。

（2） 若D在CB的延長线上（如图6），CD，CE，CA之间存在怎样的数量关系？给出你的结论并证明。

（3） 若D在BC的延长线上（如图7），CD，CE，CA之间存在怎样的数量关系？给出你的结论并证明。

分析：此题随着点D的移动，图形看似发生了变化，但基本图形的模型没变，都是以BD边构造等边三角形△BDF，然后构造全等三角形，证明△AFD≌△DCF。

说明：此题把正方形变成了等边三角形，把∠AEF=90°变成了∠ADE=60°，把CF是正方形外角平分线变成了a∥AB，其实也是等边三角形的外角平分线。此题的证明方法和图2、图3的证明类似，完全可以仿照上面的题来做，不同点在于根据图形的变换把90°的角换成了60°的角，把135°的角换成了120°的角，把45°的角变成了60°的角，把构造等腰直角三角形变成了构造等边三角形。

设计意图：通过图形的改变，将知识进行类比和迁移，但构建思维和方法没变，从而类比构建新的基本图形模型，达到对知识的融会贯通。

归纳知识点：

1. 类比正方形，等边三角形的边和角有哪些性质？

等边三角形的三边都相等，三个角都相等，都等于60°。

2. 类比正方形，在等边三角形内如何构造等边三角形？

基本图形模型2：在等边三角形内任作一条边的平行线与另外两边相交所成的三角形都是等边三角形。

如图8，等边三角形ABC中，MN∥AC，则△BMN是等边三角形。

或者在AB、BC上分别截取BM=BN，则△BMN是等边三角形。

通过对等边三角形知识点的归纳掌握作平行线或者截取构建等边三角形的基本图形模型。

（五） 变通拓展与发散思维：将等边三角形变为等腰三角形

5. 如图9，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A。

（1） ∠BEF= （用含α的代数式表示）；

（2）当AB=AD时，猜想线段EB、EF的数量关系，并证明你的猜想；

（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE>AB，AB=mDE，AD=nDE”，其他条件不变（如图10），求EBEF的值（用含m，n的代数式表示）。

分析：（2）中连接BD，因为AB=AD，所以△ABD是等腰三角形，过点E作EG∥BD交AB于G或者在AB上截取AG=AE，连接EG，以AE为边构造等腰三角形△AGE，然后证明△BGE≌△EDF

（3）中延长AB至G，使AG=AE，连接EG，同样是以AE为边构造等腰三角形△AGE，然后证明△BGE∽△EDF，从而BEEF=BGDE。

基本图形模型3：作等腰三角形底边的平行线和另外两边或者两边的延长线相交可以得到新的等腰三角形。

设计意图：通过题组的形式在不同图形中进行点的移动，构建基本图形模型，让学生易于接受，并且印象深刻，第一题组都是构建等腰直角三角形和全等三角形，第二题组都是构建等边三角形和全等三角形，第三题组都是构建等腰三角形和全等三角形或相似三角形，虽然图形在发生变化，但构建方法却没变，都是通过作平行线或者通过截取来构造等腰直角三角形或者等边三角形或者等腰三角形，从而构建全等三角形或者相似三角形，通过基本图形建模可以让学生很好地掌握所学知识，并且能够举一反三，融会贯通，从而达到知识的灵活应用。

三、 总结反思

通过以上探究基本图形建模的过程，我个人认为可以从以下几个方面进行总结反思：

（一） 要在课本例题、习题上下工夫

如果学生对学习没有兴趣，那么就会视学习为一种苦役，也就不可能心情愉快地进行学习。通过几何基本图形的建模，让学生进行识图，看到这样的条件就想到什么样的基本图形，从细节出发逐步深入，并能对基本图形的推理做到条理清晰，自然就不会对几何的学习产生厌倦。通过对例题的剖析，习题的处理找到其规律，巩固基本理论，加强基础知识的教学和基本技能训练。要对课本例题和习题深入挖掘，通过一题多变、一题多解、多题一解，寻找规律，发散思维，培养学生举一反三、触类旁通、运用所学知识解决问题的能力。

（二） 要全面深入地了解学生

学生是学习的主体，要深入了解学生，了解学生的学情，有针对性地确定难点，要细心观察每一个学生的行为习惯和学生的思想表现以及了解学生现有知识的储备情况，对所学基础知识的掌握情况，对数学概念是否真正理解，定理能否证明，对数学思想、数学方法的运用水平如何，能否独立完成作业，通过学生的各种数学活动了解学生思维的灵活性和思维的全面性以及思维的创造性。通过平面几何的学习，建立数与形的联系，构建基本图形的直观模型，探索解决问题的思路，学生能发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识。endprint

（三） 需要对知识进行归纳与整理

由于学生学习的课程多、时间长，很难将支离破碎的知识连成整体，只见树木、不见森林，导致运用知识的能力不强，所以，无论哪一种类型的习题课，都要将所学的有关知识进行归纳、整理，进行纵、横向联系，进而优化所学的知识，使其系统化、科学化。另外，根据习题的情况，抓住共性的问题，有针对性地对知识内容、解题策略、思想方法进行归纳，把数学知识与技能以“同化”、“顺应”或“平衡”的形式纳入认知结构中，从而使学生对所学知识更好地理解、记忆和应用。引导学生从多种角度认识图形的形状、大小、变换和位置关系，加强几何建模以及探究过程，发展学生的几何直觉和空间观念。

（四） 注重培育思维方式和探求规律

在重视基础知识和基本技能的基础上还需要进行一定的综合训练，综合题涉及的知识点多，难度大，所以要思考试题主要考查什么知识点，这些知识点在理解时有哪些注意点，解题的突破口在哪里，哪种方法才是最佳解题途径，这样才能培养学生的辨别分析能力。在习题课教学中应注意提炼数学思想及方法，强化学生对数学思想、方法的应用，这有利于学生优化认知结构，活化所学知识，深化思维层次，从而提高数学解题能力。几何，作为逻辑推理的体系，要使学生学会“合乎逻辑地思考”，几何模型不仅为学生感受、理解抽象的概念提供了有力的支撑，有助于学生获得相应的知识和技能，而且为学生自主探索图形的性质提供了方便，有助于培养学生的合情推理和演绎推理能力。几何基本图形的建模有助于对于几何综合题，能从复杂的图形中很快地分离出基本图形或者能很快地找到基本图形的辅助线，从而寻找到思路，找到解决问题的突破口。

四、 结语

习题课是数学教学的一种重要课型，是新授课的重要补充。它不仅能有效地增强学生解决问题的能力，培养学生思维能力，特别是创新思维能力，提高数学教学质量，而且可以促进学生良好的数学观念的形成。习题课教学可使学生在探究教師精心编制的习题过程中拓宽学习领域，进一步提高分析问题、解决问题的能力。通过本研究不仅可以让学生掌握基础知识和基本技能，更重要的一是可以提高学生的数学核心素养，通过平面几何的学习，建立数与形的联系，构建基本图形的直观模型，探索解决问题的思路，学生能发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识。与数学的其他分支相比，几何图形的直观形象为学生进行自主探索、创新的活动提供了更有利的条件。当代数学家M.阿蒂亚先生指出：几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位……几何直觉是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。二是可以提高学生学习几何的兴趣，如果学生对学习没有兴趣，那么就会视学习为一种苦役，也就不可能心情愉快地进行学习。通过几何基本图形的建模，让学生进行识图，看到这样的条件就想到什么样的基本图形，从细节出发逐步深入，并能对基本图形的推理做到条理清晰，自然就不会对几何的学习产生厌倦。三是可以发展学生的空间观念，《标准》中提倡以“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展、反思”的基本模式展现内容，让学生经历“数学化”和“再创造”的过程，引导学生从多种角度认识图形的形状、大小、变换和位置关系，加强几何建模以及探究过程，发展学生的几何直觉和空间观念。四是可以发展学生的思维能力，几何，作为逻辑推理的体系，要使学生学会“合乎逻辑的思考”，几何模型不仅为学生感受、理解抽象的概念提供了有力的支撑，有助于学生获得相应的知识和技能，而且为学生自主探索图形的性质提供了方便，有助于培养学生的合情推理和演绎推理能力。几何基本图形的建模有助于对于几何综合题，能从复杂的图形中很快地分离出基本图形或者能很快地找到基本图形的辅助线，从而寻找到思路，找到解决问题的突破口。本研究只是初中平面几何基本图形建模的冰山一角，还有众多基本图形模型有待探究和挖掘，有愿将在后面做进一步的研究。endprint