基于均值逼近算法的光纤陀螺温度补偿方法①

石 雪, 胡宗福， 傅长松

(1.同济大学电子与信息工程学院，上海 201804；2.上海航天控制技术研究所惯导部，上海 201109)

0 引 言

光纤陀螺凭借着启动快，动态范围大等优点，在惯导系统中具有至关重要的作用。然而，光纤陀螺的零偏漂移对温度的变化非常敏感，这一特点大大地降低了系统性能[1]。目前，在工程实践中，尤其在温度不断变化的环境中仍然要求高精度的情况下，温度变化引起的零偏漂移成为非常重要的问题之一。而在工程实践中，通常有两种方法来降低温度依赖性：第一种方法是利用温控设备来缩小温度的变化范围，但是引进温控设备会增加项目资金的投入[2]；第二种方法是通过数学建模，找出环境温度与光纤陀螺零偏输出的关系，建立温度模型，进行温度补偿，降低温度依赖性[3]。在各类温度补偿方法的理论基础上，基于高斯分布的均值逼近算法，更好地提高了光纤陀螺的输出精度。

1 现有补偿方法

光纤陀螺的零偏误差，又称Shupe效应误差，主要是由于温度变化，在光纤线圈内相向传播的两束光波所经历的光程不一致造成的[4]。对于四极柱形绕法绕制的光纤线圈，如图1所示，光纤线圈上的零偏漂移为：

(1)

图1 光纤线圈示意图

由Shupe效应原理以及公式(1)可知，在已知光纤线圈绕法的前提下，光纤陀螺的零漂可通过光纤线圈上每一点的温度变化率计算得出。目前在理论研究以及实践应用中，普遍采用两种方法来获得光纤线圈上每一点的温度变化率，第一种是通过分离变量法来计算热传导方程，获得光纤线圈每一点温度的解析解[5]。由于无限项因子的存在，数值计算只能取有限项，使得计算出的光纤陀螺零漂有较大的误差。第二种方法是通过有限元法计算热传导方程，获得光纤线圈每一点温度的离散解。有限元法在寻找最优的分割单元时会引入额外的误差，并且计算量较大[6]。因此，通过计算光纤线圈每一点的温度变化率来得到光纤陀螺的零偏漂移存在一定的局限性。机器学习算法侧重于研究环境温度的变化与光纤陀螺零漂的关系，并非光纤线圈中每一点的温度变化，这大大简化了计算复杂度，在一定程度上提高了输出精度。

图2 机器学习系统框图

如图2所示，机器学习方法就是通过对训练集样本进行统计分析，依据一定的概率，确定输入与输出之间的关系，从而对新的输入获取更准确的模型值。目前，很多机器学习方法可以用来降低光纤陀螺的温度依赖性[7]。多项式回归实现比较简单，计算也不复杂，但对非线性数据的拟合效果不佳，高次多项式容易出现过拟合的现象。为了抑制多项式回归的过拟合现象，光滑样条将样本点分段进行低次多项式回归[8]，但由于分段结点处存在约束条件，计算量较大，光滑参数也会引入新的误差，降低了拟合精度。相比于多项式回归算法，神经网络回归算法在拟合的准确度上有了很大的提升，另外它还具有并发能力强，鲁棒性和容错能力强等优点[9]。然而，神经网络算法的缺点是需要大量的参数，比如网络拓扑结构的权值等，另外，神经网络算法还需要科学地确定各个阈值的初始值。复杂的结构和较多的参数导致神经网络方法的学习时间较长，甚至得不到学习的结果。支持向量机使用核函数对高维数据进行降维，简化了计算复杂度[10]。但是支持向量机中的核函数必须满足Mercer条件，支持向量的个数也会随着训练集的增加而线性增加，增加了学习的时间。相关向量机采用一种全概率框架，引入基于模型权值的先验概率，并为每一个权值引入一个超参控制。经过迭代，大部分权重会趋近于零，这使得相关向量机回归模型更加稀疏[11]。当相关向量机与支持向量机的泛化性能相当时，相关向量机会使用更少的核函数[12]。但是相关向量机的缺点是建立回归模型的时间较长，实时性较差，很难应用于实际应用中。相比于其他回归算法，基于高斯分布的均值逼近算法在准确度和实时性上都有了一定的提高。

2 均值逼近算法基本原理

均值逼近算法是一种基于预测变量服从高斯分布的情况下，使用极大似然估计得出每一个样本点服从的高斯分布的均值和方差，进而利用估计出的均值来获得模型值的方法。光纤陀螺的Shupe零偏输出近似于服从高斯分布的白噪声，而根据高斯分布的概率密度公式可知，高斯分布可以通过均值和方差来完全确定，因此均值逼近算法完全适用于研究环境温度变化与光纤陀螺Shupe零偏输出之间的关系。

图3 环境温度随时间的变化关系

图4 光纤陀螺零偏输出随时间的变化关系

均值逼近算法的基本步骤可以分为以下三步：

第i段陀螺Shupe零偏输出数据集的似然函数可以表示为：

(2)

为了进行极大似然估计，将公式(2)简化为以下形式：

(3)

第i段数据集服从的高斯分布的最大似然解为:

(4)

(5)

第二步，将研究窗口(d个样本点的光纤陀螺零偏输出)以一个样本点为单位按时间顺序向后移动，再次计算每个研究窗口内的光纤陀螺输出样本点的高斯分布的均值和方差。按照上述规则，进行d次极大似然估计。迭代结束后，每个样本对应着d个高斯分布的均值和方差。第三步，每个陀螺Shupe零偏输出样本点的模型值为对应的d个均值的平均值：

(6)

3 均值逼近算法实验与仿真

为了研究光纤线圈的零偏输出对于温度的依赖性，首先通过温度实验采集一系列的Shupe零偏输出样本点，然后分别采用各类回归模型对获得的样本点进行统计分析，最终通过对比剩余平方根来获取最优的温度模型。对光纤陀螺进行温度补偿的步骤主要分为以下三步：数据的预处理，选取补偿效果最优的温度模型，以及对光纤陀螺Shupe零偏输出进行补偿。

3.1 数据预处理

本次实验为循环温度实验，温度随时间的变化曲线如图3所示，温度变化范围为-40℃到60℃。如图4所示，本次实验可以获取光纤陀螺零偏输出随环境温度变化的离散样本点。为了更好地进行统计分析，零偏输出可以通过相应的转换关系将数字量转换成模拟量。由图5光纤陀螺零偏输出的直方图以及Q-Q图可知，光纤陀螺的零偏输出服从高斯分布，这为温度模型的建立提供了必要的前提。

图5 光纤陀螺零偏输出的直方图以及Q-Q图

由图3和图4可知，温度是时间的显函数，光纤陀螺零偏输出是时间的显函数，因此，光纤陀螺零偏输出是温度的隐函数，本次实验可以通过研究光纤陀螺零偏输出随时间的变化关系，来获取零偏输出随温度的变化关系，从而建立温度模型。另外，光纤陀螺零偏输出的样本点中有几个离群的点，根据准则，异常值为测定值中与平均值的偏差超过3倍标准差的值，因此，为了更好地进行均值逼近，应滤掉这些离群的异常值，减小异常值对均值的极大似然估计值的影响。光纤线圈的参数如表1所示。

表1 光纤线圈的参数

图6 各类回归模型拟合曲线对比图(训练集)

图7 各类回归模型拟合曲线对比图(测试集)

3.2 回归模型对比

采用随机采样的方法将实验获取到的样本点分成训练集和测试集，两者样本数的比例为2:1。根据图6所示，随着温度的变化，光纤陀螺的零偏漂移产生了较大的波动，这说明光纤陀螺的零偏稳定性较差。为了验证均值逼近算法的优越性，分别对实验数据进行了四次多项式回归、光滑样条回归、支持向量机回归和均值逼近算法拟合的仿真。如图6和图7所示，四次多项式回归模型并不能很好的体现数据的非线性特征，光滑样条回归和支持向量机的回归模型比较相近，均值逼近算法能更好的体现实验数据的非线性特征。

机器学习算法可以用剩余平方根来评判其模型对数据的适用性，测试集的剩余平方根越小，模型对数据的拟合精度越高。如图8所示，在仿真实验中，四次多项式回归的剩余平方根最大，均值逼近算法的剩余平方根最小，虽然光滑样条和支持向量机的剩余平方根与均值逼近算法的比较接近，但是两者的学习过程较长。因此，均值逼近算法具有比较明显的优势。

图8 各类回归模型的剩余平方根对比图

图9 各类回归模型对光纤陀螺零偏输出补偿后数据的对比图

3.3 补偿数据

各类机器学习算法以及均值逼近算法的仿真实验，得出了光纤线圈的温度模型。每个样本点的模型值可以对原始的光纤陀螺输出数据进行补偿，从而减小温度误差，提高陀螺的精度。如图9所示，均值逼近算法对光纤陀螺输出数据的补偿效果最好，使光纤陀螺的零偏稳定性减小了95%，光纤陀螺的零偏精度达到0.05°/h。而四次多项式的补偿效果使光纤陀螺的零偏稳定性只减小了85%，光纤陀螺的零偏精度仅达到0.15°/h，与均值逼近算法的相差了一个数量级。光滑样条和支持向量机对光纤陀螺零偏输出进行补偿后，光纤陀螺的零偏精度达到了0.10°/h，但是实时性较差。因此，均值逼近算法的有效性和优越性得到了充分的验证。

4 结 语

基于高斯分布的均值逼近算法可以更好地补偿光纤陀螺的零偏输出。通过与其他回归算法相比，均值逼近算法可以更准确地为光纤陀螺建立温度模型。实验结果表明，使用均值逼近算法，光纤陀螺的零偏输出减小了95%，零偏精度达到了0.05°/h，该算法对于精度的提高优于现有的其他方法。因此，均值逼近算法的有效性和优越性得到了验证，光纤陀螺的性能得到了提升。

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