城市防汛泵站的多级排队选址模型及优化算法

胡文发， 何新华

(1. 同济大学 经济与管理学院，上海 200092；2. 上海海事大学 经济管理学院，上海 201306)

上海市城市排水系统建设长期不足，频繁的暴雨内涝严重扰乱城市居民生活秩序[1].城市内涝灾害产生的原因众多，由于城市区域规划的不均衡性，致使城市水文特性和成灾机制发生显著变化，暴雨对不同区域的灾害影响存在较大差异[2].上海市普遍采用截流式合流制改造原有排水系统、优化排水管网及泵站选址.本文城市排水系统指截流式合流制排水系统，在暴雨条件下，其主要作用是处理雨水，包括雨水汇集、输送、排出等环节，由雨水管网和防汛泵站组成，不讨论污水处理及其排水问题.

城市排水系统可以看作一个串联排队系统，排队论可以用于解决系统布局与选址问题.例如Hajipour等[3]使用M/M/m排队构建一个多目标非线性混合整数规划的选址模型，Singer等[4]构建救护车排队服务的模型，胡丹丹等[5]将竞争环境下的最大截流选址问题转化为排队论模型.本文基于多级串联排队系统仿真城市排水系统，考虑降水特征、区域排水时间需求、排水管网承载能力，构建排水系统年度运行费用和排水时间为双目标的排水系统再选址模型，通过改进遗传算法求解该模型，达到优化城市排水设施布局的目的.

1 城市暴雨与排水系统

1.1 城市暴雨强度特征与地表径流

气象资料表明城市暴雨是一个变化过程，降雨强度在暴雨期间变化大，常用总降雨量、降雨历时和降雨频率描述城市暴雨特征.降雨历时一般用5 min至2 h，重现期为高强度暴雨出现一次的平均间隔时间，一般取0.5年至5年不等.考虑到总降雨量、降雨历时和降雨频率之间存在明显的相关性，暴雨强度公式为

式中：f(t,R)为暴雨强度，mm·h-1；t为降雨历时，min；R为暴雨重现期，年；a,b,c,d为待定参数，由当地暴雨长期观测数据确定.

为了及时汇集暴雨径流，一般在交叉路口、道路低洼处、沿道路每隔一定距离设置雨水口.假设每个雨水口对应一个汇水区，每个汇水区内的降雨特征相同，暴雨径流就近流入雨水口.每个雨水口汇集的暴雨径流的流量强度Qi与汇水区流域面积Ai有关：

Qi=kif(t,R)Ai, ∀i∈I

式中：Qi为雨水口单位时间汇集的流量强度，m3·h-1；ki为量纲一径流系数，为径流强度与相应降雨强度的比值，一般小于1，与汇水区块的地表特征有关，例如居住区ki=0.6～0.7，城市商业区ki=0.7～0.9，屋面和沥青路面ki=0.7～0.9；Ai为汇水区块的面积；I为汇水区即雨水口的总数量.

1.2 城市排水系统的组成与排水过程

城市排水管网是一个由不同雨水管道组成的网状系统，雨水管道由众多管段组成，一般沿道路一侧或两侧使用暗埋方式敷设，在管网终点设置雨水提升泵站.

假设排水管网由一系列管段i1-i2组成，连接雨水口i1和i2，∀i1,i2∈I.雨水在管段内沿重力方向流动，i1→i2，∀i1

式中：ui1,i2为管段i1-i2的服务容量，m3·h-1；di1,i2为管段i1-i2的直径，mm；vi1,i2为管段i1-i2排水平均流速，m·h-1.

雨水口i的服务容量ui为：ui=givi，其中gi为雨水口的截面积，m2，vi为雨水口的水流平均速度，m·h-1.

稳定服务条件下管段i1-i2的排水量Qi1,i2为该管段前端的雨水口i1汇集的降雨量与所有流经此处的管段流量之和，且管段i1-i2的排水量不大于其服务容量.

Qi1,i2=Qi1+∑Qh,i1≤ui1,i2, ∀h

Qi1,i2≤ui1,i2

式中：Qi1,i2为管段i1-i2的排水量；Qh,i1为与管段i1-i2连接的所有上游管段.

1.3 多级串联排水特征

1.3.1多顾客源多级排队过程

城市排水系统通过雨水口汇集降水、由多级管段组成的管网传输雨水、最后由防汛泵站提升雨水直到排到水体，该过程可以看作是一个多顾客源、多级排队系统，记为M/M/c/k/k/.雨水口i、管段i1-i2、泵站可看作是服务容量有限的多级服务台，见图1.以管段i1-i2为例，其服务容量为ui1,i2，顾客来源是雨水口汇集的地表径流Qi和所有上游管段的汇流Qh,i，∀h

图1 排水系统的多顾客源多级串联排队过程

1.3.2排队假设

该排队模型采用以下假设：

(1)地表水按Poisson流到达雨水口i，均值为λi，λi=Qi，以第一级进入系统，当雨水流量大于雨水口服务容量ui时，地表径流排队等待，λi≤ui.

(2)所有雨水口i均为第一级服务台，所有管段i1-i2为第二级及以后各级的服务台.

(3)待排水在排水管网流动过程中形成相互独立的排队队列，遵从先到先服务的规则.

(4)所有管段i1-i2的服务时间相互独立，服务时间的分布假定服从负指数分布，均值为λi1,i2，λi1,i2=1/ui1,i2.

(5)管网末端为一个防汛泵站，防汛泵站的服务时间分布服从负指数分布，均值为λm，λm=1/up，其中up为防汛泵站的服务能力，m3·h-1.

1.3.3多顾客源多级排队的主要参数

设Lk(t)、θk(t)分别表示t时刻系统中第k级服务台的待排水队长和服务相位，L0(t)、θ0(t)表示t时刻雨水口的地表径流所处的队长和相位，k∈{1,I}，则排水系统构成的随机过程

{(Lk(t)，θk(t)，Lk-1(t)，θk-1(t)，…，L0(t)，θ0(t)}

汇集的暴雨被雨水口i服务前等待时间可表示为：ti=tlea(i)-tarr(i)，式中tlea(i)为降水在汇集区i的离开时间，tarr(i)为降水到达雨水口的时间.

暴雨在防汛泵站p及其管网的总等待时间tp为经各雨水口直到排出的平均等待时间的最大值：tp=max{ti}，∀i∈I.整个城区的雨水总等待时间最大值为：T=max{tp}，∀p∈P.其中，P为泵站总数.

1.3.4城区排水逗留时间限制

由于城市不同区域的人口密度、交通条件、经济水平不同，暴雨内涝灾害对其影响不同.为了减少城市重要区域(例如商业集中地、人口密集的社区、交通流量大的道路、政治文化集聚区等)潜在的内涝损失，可以通过设置不同区域排水的优先权或者排水等待时间值，以调整排水系统的排水服务水平.

邀请有经验的专家，确定城市重要区域的排水等待时间限制值ei.如果城区的重要性程度越高，则可要求地表雨水的逗留值ei越小，即ti≤ei.

2 城市排水系统的双目标选址模型

在城市排水系统中，一个泵站组成的局部系统是一个多级串联的Markov过程，多个泵站及其排水系统之间相互独立.系统模型使用两个决策变量mj和ni1,i2：

j∈I，且∑mj=P

在一个局部区域，划分为一系列的降雨汇集区，每个雨水汇集区设置一个雨水口，各雨水口通过不同直径的排水管连接，该区所有排水管最后与一个泵站相连，雨水经提升后直接排到临近水体.雨水最长等待时间T表示雨水径流接受各雨水口处理前等待时间的最大值：T=max{tp}，∀p∈P.

排水系统总成本C包括防汛泵站的设备费用、泵站的土建费用、排水管网的建安费用、排水系统年运行费用，按年度折旧费计算：

式中：da、db、dn分别为泵站设备费用、泵站土建费用、管网i1-i2建安费用的年折旧率；li1,i2为排水管i1-i2长度；ap为拟建防汛泵站的设备费用(按单位服务能力计)；bp为拟建防汛泵站的土建费用(按座数计)；hi1,i2为排水管段i1-i2的单位长度的建安费用；ci1,i2为排水管段i1-i2的单位排水量的损耗费用.

城市排水系统选址的双目标排队优化模型为

minT=max{max{ti}}， ∀i∈I，p∈P

(1)

(2)

s.t.

Qi=kif(t,R)Ai, ∀i∈I

(3)

(4)

Qi1,i2=Qi1+∑Qh,i1, ∀h

(5)

λi≤ui, ∀i∈I

(6)

Qi1,i2≤ui1,i2, ∀i1,i2∈I

(7)

(8)

t1≤ei, ∀i∈I

(9)

(10)

ui=givi

(11)

mj,ni1,i2∈{0,1}, ∀i1,i2,j∈I

(12)

式(1)、(2)为模型目标函数，为雨水最长等待时间最小、排水系统总成本最小.式(3)表示每个汇水区的暴雨量与暴雨强度、汇水区面积有关；式(4)表示暴雨强度的通用公式与暴雨重现期有关；式(5)表示排水管段i1-i2在稳定服务条件下排水量为该管段前端的雨水口i1汇集的降雨量与所有前置管段的排水量之和；式(6)表示地表降水按Poisson流到达雨水口i的均值λi不大于其服务容量ui，否则地表径流排队等待；式(7)表示排水管段i1-i2在稳定服务条件下的排水量应不大于其服务容量；式(8)地表降水从雨水口进入排水系统直到离开排水系统的平均等待时间；式(9)表示区域排水等待时间的主观限制条件，式(10)和(11)分别表示排水管段i1-i2和雨水口的服务容量计算；式(12)为防汛泵站和管道铺设这两个决策变量的赋值属性.

3 改进遗传算法

双目标多级排队系统模型具有复杂的非线性关系，难以直接采用确定性数学规划方法求解.为了简化计算，主要聚焦于求解平稳的多级排水随机过程问题，平稳的Markov随机过程统计特性不随时间而变化.对于平稳状态的排队系统，随机过程的统计特征E(ti)、E(Lk(t))等不变，用各雨水口降水的等待时间期望值代替其等待时间平均值，则随机排队问题可转化为确定性问题，采用改进遗传算法以双目标函数求解该确定性问题，得到多级排队问题下的城市排水系统的等待时间、总成本的最小期望值.

改进遗传算法的具体步骤如下：

(1)编码：针对决策变量mj和ni1,i2，采用浮点数与二进制混合编码方式进行编码，编码长度为I+P×I.

(2)算法初始化：初始化染色体Vk时，在决策向量的可行域中随机产生点，运用随机模拟方法检验其可行性，若可行，则作为一个染色体，否则重新生成随机点，直到得到可行解.

(3)设置适应度函数：采用基于序的eval(Vk)评价函数对每个染色体Vk设定一个概率，通过轮盘赌的方式，使每个染色体被选择的可能性大小与种群中其它染色体的适应性成比例.

(4)选择操作：计算每个染色体Vk累计概率.

(5)交叉操作：设pc为交叉操作的概率，在[0，1]中产生一个随机数p′，若p′

(6)变异操作：设pm为变异操作的概率，在[0，1]中产生一个随机数p″，若p″

(7)精英保留策略与禁忌搜索：将每次迭代的局部最优解作为禁忌对象放入禁忌表，用当前最好解替代新种群中的最差解，提高遗传算法的求解效率和收敛性.

(8)重复选择、交叉、变异操作，直至满足停止准则，求解结束，输出决策变量、等待时间、成本的最优解.

4 算例与讨论

通过实际算例说明城市防汛泵站选址的多级排队理论的适用性，讨论与验证改进遗传算法的有效性.

4.1 算例选择与参数确定

算例为上海市杨浦区定海路街道的防汛排水系统的更新改造.定海路街道紧邻黄浦江，占地面积4.5 km2，常住人口10万人.定海路街道弄堂多而狭窄，老式居民区地势低洼，排水管道老化，排水能力较弱，每逢暴雨就会出现大范围的积水和内涝.现有防汛排水系统只有一个泵站，位于第85点，该泵站防汛服务能力为4.2 m3·s-1.主要雨水口共计92个，雨水管道共计119段，各管段长度及直径如图2所示.

随着黄浦江两岸开发的深入，定海路街道分别划入复兴岛开发区域和东外滩开发区域.拟建排水系统仍然采用雨污水合流制，服务面积约4.25 km2，充分利用现有管道系统，沿黄浦江和运河选址建设防汛泵站，即泵站候选点为16、17、26、88、45、57、58、67、75、78、79、80、81、82、83、84、85、88等18个点.

现有排水系统的原设计暴雨重现期为0.5年，更新改造后设计暴雨重现期取1年，考虑现代化城区规划发展，扩建或新建1～3个泵站，同时相应地调整排水管网直径和排水流向，基本消除城市积水和内涝，满足待排水等待时间和总费用的控制目标.

暴雨强度公式系数取值为：a=17.812，b=10.472，c=0.796，d=0.823.每个雨水口的汇流面积按占地面积计算，原设计综合径流系数为0.50.改造后每个汇水区径流系数由城市规划重新调整，综合径流系数为0.65.

定海路街道所辖主要社区功能发生较大变化，将城区划分为5个不同的排水等待时间限制值，见表1.

4.2 算例结果

遗传算法的种群规模(popsize)为200，交叉概率pc为0.7，变异概率pm为0.04，基于序的评价函数中α为0.05，最大迭代次数(Maxgen)为1 000次.计算结果如下：

(1)原防汛泵站选址点和泵站服务能力不变，原管道直径和管道系统组成不变，如果暴雨重现期取1年、综合径流系数取0.65，则暴雨等待服务的时间最小值为132.4 min(雨水口i56)，等待时间最大值为247.5 min(雨水口i2)，该辖区暴雨平均等待服务时间为165.6 min.等待服务时间均远大于需求，即现有排水系统不能满足排水时间要求，当暴雨气候出现时，该街道容易出现积水和内涝.

重要区域等级等待时间限制值/min城区主要规划功能雨水口编号一级≤70东外滩开发区16、17、26、34、45、57、58、67、73、74、75、86、88二级≤80重点商圈、医院、中小学4、19、38、46、52、54、56、62、66、68、72、80、81、82、83、85三级≤90中高档住宅区、主干道路沿线5、6、7、8、10、11、23、65、71、72、79、89、92、四级≤100新建普通住宅区24、25、32、33、35、42、47、59、64、70、76、77、78五级无限制其他区域其他雨水口

(2)暴雨重现期取1年、综合径流系数取0.65，重要区域雨水口的暴雨等待时间要求满足限制条件，排水系统费用按20年折旧.当设置一座泵站时，所有雨水管段与该泵站相连，最优选址点为i57，泵站服务能力为up=26 m3·s-1，排水系统总成本C=1 372万元·年-1，雨水最长等待时间T=112.5 min.设置两座泵站时，雨水管段分为独立的两个系统分别与两个泵站相连，最优选址点为i88和i75，泵站服务能力分别为up=15 m3·s-1和14 m3·s-1，排水系统总成本C=2 396万元·年-1，雨水最长等待时间T=104.6 min.设置三座泵站时，雨水管段分为独立的三个系统分别与三个泵站相连，最优选址点为i88、i75、i83，泵站服务能力分别为up=12、11、9 m3·s-1，排水系统总成本C=3 332万元·年-1，雨水最长等待时间T=98.7 min.

4.3 敏感性分析

(1)泵站数量的影响

拟建泵站数P与雨水最长等待时间及总成本的关系见图3.当p=1时，排水系统的总成本最低，各降雨区的等待时间均能满足限制值要求.随着排水泵站个数增加，每个泵站的平均服务能力可适当调整降低，各降雨区的等待时间明显减小，总成本的最优值会明显增大.新建一座防汛泵站每年需综合增加投资约600～1 000万元，但排水等待时间随泵站数量增加并不明显降低，说明增加防汛泵站数量并不是降低城市积水的最优办法.

(2)暴雨重现期的影响

当在最优选址点i57设置一座泵站，且径流系数及其他主要参数不变时，暴雨重现期R对该排水系统的最优总成本和雨水最大等待时间的影响见图4.

图3 拟建泵站数量对目标值的影响

图4 暴雨重现期对目标值的影响

当暴雨重现期从0.5年增加到15年时，排水系统的总成本和雨水最大等待时间均不断增加.暴雨重现期延长，意味着暴雨强度设计值提高一倍以上，但是随泵站服务能力需要大幅增加，雨水最大等待时间T变化较小，而排水系统总成本C增加近5倍.说明在设计排水系统时，选择一个经济合理的暴雨重现期具有非常重要的现实意义.同时也说明，当某地区频繁出现大暴雨或特大暴雨，且对该地区的排水时间要求紧迫，则应增加资金投入改善排水系统，提高防汛能力.

5 结论

城市排水系统可以看作为一个复杂的多级串联排队系统，如果地表径流来不及处理，就会形成城区积水和内涝.防汛泵站作为城市排水系统的核心组成之一，其选址位置和服务能力直接影响到排水效果.通过考虑暴雨强度在城市空间分布特点以及城市排水系统的组成与运行特点，以雨水口、排水管段、泵站等组成多级服务台的排队模型.为了确保重要城区无积水，对不同区域设置不同的排水等待时间.以各雨水口的最长排水等待时间及排水系统运营总成本为目标函数，以城市排水系统为基础，建立防汛泵站的最优选址模型.

提出禁忌算法改进随机遗传算法，将复杂的随机非线性排队问题转化为确定性问题求解，能稳定搜索出复杂条件下选址问题的最优解，通过测试函数验证该算法的有效性.结合上海市定海路排水系统的更新改造工程，求解城市发展背景下的防汛泵站数量设置和最优选址问题，重点讨论暴雨重现期对排水系统的总成本和雨水等待时间的影响，讨论泵站数量对排水时间及总成本的影响等，提出合理确定暴雨重现期和防汛泵站数量的重要意义.

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