曲线小波光顺问题中关于连续分辨率水平的研究

陈 勇 张 旭 吴易泽 江明阳

（上海工程技术大学机械与汽车工程学院，上海 201620）

由于制造精度和测量精度不能达到理想状态，会造成零件产生一定数量误差，对曲线或者是曲面光顺性产生不利影响。光顺技术可以减少制造精度和测量精度对逆向工程产生的影响，进而保证逆向工程下产品质量。逆向工程中，多分辨分析技术是一种提取曲线曲面本质特性的方法，其不仅具有良好的时域局部特性，还具有良好的频域局部特性。S.Mallat在1998年构造正交小波基时，提出了多分辨分析这个概念，从空间概念上说明了小波具有多分辨率特性，将此之前的所有关于正交小波基构造进行了统一，并提出了正交小波基构造方法和正交小波快速算法，这个算法就叫做Mallat算法[1]。

1994年，Quak等研究人员利用多分辨分析方法，对由2j+3个控制顶点确定的一条曲线，提出了基于闭区间的B样条小波曲线分解和重构算法[2]。在多分辨光顺问题研究中，国内外许多学者做了研究，比如纪小刚等人在二进小波基础上，实现了曲线或者是曲面小波光顺任意定点的控制[3]；再例如赵罡等研究人员提出了一种基于小波的非均匀B样条曲线自动光顺算法，将曲线分解为曲线细节部分和曲线尺度两部分，并把细节部分再次分解为小波尺度部分和小波细节部分，最后通过自动设定阈值对小波细节部分进行修复[4]。

本文主要介绍连续分辨率水平的建立及其相对于以往多分辨率水平方法的优势，并基于非均匀B样条光顺问题构造建多分辨水平基函数，通过这个基函数达到曲线光顺连续控制目的，这样曲线调整方法相对于传统方法更加容易达到曲线光顺要求，是解决曲线设计中关于光顺性问题的一种有效思路。

1 关于建立连续分辨率水平的基本知识

相关研究者提出了关于相邻两个整数分辨率水平曲线进行线性插值，最终得到过渡曲线的方法，如式（1）所示。

式中，Ψ（t，x）表示一条曲线；x为分辨率水平；t为节点矢量；γn（t）为非均匀B样条曲线；n为节点矢量；μ为过渡系数，0≤μ≤1。

由上述方程中，可得曲线对x连续，并且定义：Ψk（t，x）（k=1，2， ……）表示一条曲线；x为其分辨率水平。如果Ψk（t，x）对x是k有阶的偏导数，同时Ψk（t，j）=γj（t），则x称为k阶连续分辨率水平，一般情况下k值取1或者2。

2 构造连续分辨率水平

2.1 设计连续分辨率水平基函数

根据连续分辨率水平以及非均匀B样条小波变换知识，一般情况下假设k取1或者2，并构造符合如下条件的基函数g1（x）、g2（x）。g1（x）、g2（x）是关于 y轴对称的，符合插值函数要求。另外，对于任意的x都有g1（x）≥0、g2（x）≥0，且满足一定条件，如式（2）所示。

式中，k取值为1或者2，可得曲线插值关于基的和为1，其支撑区间在[-1，1]上是连续变化的并且具有k阶连续导数；在[-1，1]外的值都为零，这就保证了其支撑区间是[-1，1]，更方便处理边界位置，适用于整数点插值。另外，当gk（0）=0、gk（i）=0时，整数点N处的曲线为γn（t），为非均匀B样条曲线。

综上所述，插值函数如式（3）所示。

式中，k为连续分辨率水平构造基函数序号；J为控制点层数；Ψk（t，x）为分辨率水平x有k阶连续导数。由于g1（x）、g2（x）的性质，在区间[N，N+1]上，可以通过第N层曲线和第N+1层曲线来构造关于连续分辨率水平x的曲线，如式（4）所示。

有小波变换可得式（5）。

式中,ΦN+1为非均匀B样条基函数；PN+1为小波尺度重构矩阵；CN+1——非均匀B样条曲线原控制点；E为单位矩阵；AN+1小波分解矩阵，Ckx如式6所示。

则可得Ψk（t，x）连续导数，如式（7）所示。

式中，ΦN+1为非均匀B样条基函数；Ckx为经过小波变换以及连续分辨率水平构造修改后的控制点。从上述公式中可以看出，Ckx是分辨率水平为x的曲线Ψk（t，j）的控制点，分辨率水平x的连续变化决定了控制点连续变化，而控制点的连续变化决定了分辨曲线也是连续变化的，这样就可在误差允许范围内找到符合要求的曲线。

2.2 算法步骤

非均匀B样条曲线小波光顺中关于连续分辨率水平建立的步骤如下：

（1）选取控制点构造非均匀B样条曲线，控制点数量是2j+3个。节点矢量是依据控制点数据按照Hartley-Judd方法生成。

（2）构造两种插值核函数g1（x）、g2（x），构造要求如第一部分所述。

（3）构造插值函数如式（1）所示。

（4）按照式（7）所示来计算出最终所需求曲线。

2.3 实例分析

选取一个由131个控制点组成的非均匀B样条曲线，按照上述方法对曲线进行光顺处理，试验验证流程如图1所示。利用MATLAB软件对算法进行验证，这只需要调整分辨率水平x值就可以实现对曲线的连续控制，并且随着连续分辨率水平x值的变化，曲线的效果也是不同，可以根据各行业要求选择合适的连续分辨率水平x。

图1 连续分辨水平验证流程图

从流程图上可以看出，连续分辨率水平建立就是运用具有特征性的连续插值核函数来实现的。设置一个连续分辨率水平x=3.7，在N≤x≤N+1情况下，对构造曲线进行分析，当x取值不同时，构造曲线会有不同效果，这样就有更大的分辨率水平区间来保持曲线细节部分。选取的构造函数如图2所示。

按照Hartley-Judd方法获得非均匀B样条曲线，如图3所示，为了使非均匀B样条曲线得到最好的光顺效果，并且在需要时保留曲线细节，可以选择不同分辨率水平再求得最后光顺。

图2 连续分辨率水平构造函数

图3 非均匀B样条曲线

两曲线对比图如图4所示，局部放大图如图5所示，和原曲线相比，非均匀B样条曲线可以有更好光顺性，并且随着分辨率的连续构造，总能获得需要的非均匀B样条光顺曲线。

图4 曲线对比图

图5 曲线局部放大

本实验验证了非均匀B样条曲线光顺过程中仍然能构造连续分辨率水平，达到最终的光顺目的。在实验过程中，数据点选择和非均匀B样条曲线选择，构造出具有不同分辨率的曲线，能够实现不同行业要求，对于光顺性要求比较高而对拟合曲线精度要求不是太严格的行业，可以在同层次下选择比较小的分表率水平，能达到更好的光顺效果。

3 结论

本文主要介绍了曲线小波光顺性问题中关于连续分辨率水平的构造问题，在小波变换中结合连续分辨率水平可以达到曲线连续控制目的，在一定误差允许范围内得到符合本行业要求的光顺曲线。经验证，本文构造的连续分辨率水平对非均匀B样条曲线进行小波光顺过程是有效的，并且在一定范围内可以带给工程人员更多的光顺性调整方案，使其在光顺性和逼近精度之间有一个更好的选择。