高中数学“含参”问题常用方法

杨忠慧

（河南省三门峡市陕州中学，河南 三门峡）

解决此类问题有一定的规律性，常见方法有：函数思想、分离参数、变换主元、数形结合等，其中分离参数转换自变量是常用的方法。下面我将根据例题具体分析一下这些方法。

一、反参为主（即主元法）

对于给出了参数范围的“恒成立”问题，常把参数视为主元，把主元视为已知函数，即把原题视为参数的函数，从函数角度来解答。

例1.对于任意a∈［-1，1］，函数f（x）=x2+（a-4）x-2a的值恒大于零，求x的取值范围。

解：由题令 g（a）=（x-2）a+（x2-4x+4）>0 对 a∈［-1，1］恒成立。显然x≠2。

∴g（a）是 a 的一次函数，要使 g（a）<0 在 a∈［-1，1］上恒成立，只需解之，得：x<1 或 x>3。

点评：此题若按分离法做，分离a得（x-2）a>4x-x2，需讨论比较复杂。

变式：若例1中改为x∈［-1，1］上f（x）>0恒成立，则此题属于二次函数区间定轴动题目。

点评：此题若用分离法不易解答。

通过这个例题，要使得学生掌握参数和未知数的转换，从而更好更快地解决所遇到的问题。

二、分离参数和函数思想

通过恒等变形，将参数与主元分离出来，使不等式一边只含参数，另一边是与参数无关的主元问题，只需求出主元函数的最值。求主元函数的最值时，常用到配方法、基本不等式、函数单调性、三角函数值域等知识与方法。

解：∵x∈［1,+∞］，要使f（x）>0恒成立，即使

即x2+2x+a>0对x∈［1,+∞］恒成立。

分离参数得：a>-（x2+2x）=-（x+1）2+1

当 x∈［1,+∞］时，g（x）=-（x+1）2+1，最大值为 3。

∴实数a取值范围为：a>-3

点评：以上解法为分离参数法，这样通过将含有未知数的移到一边，可以很容易利用函数的性质求出最大值，进而可知实数a的取值范围。此题若按函数思想，则此函数为双勾函数，需讨论，比较复杂。

例2.（2013高考新课标Ⅰ21）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2

（Ⅰ）求 a，b，c，d 的值。

（Ⅱ）若x≥-2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围。

解：（Ⅰ）因为曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），所以b=d=2；因为f′（x）=2x+a，故f′（0）=a=4；g′（x）=ex（cx+d+c），故g′（0）=2+c=4，故c=2；所以f（x）=x2+4x+2，g（x）=ex（2x+2）。

（Ⅱ）函数思想

令F（x）=kg（x）-f（x），则F′（x）=（kex-1）（2x+4），由题设可得F（0）≥0，故k≥1，令F′（x）=0得x1=-lnk，x2=-2。

①若1≤k≤e2，则-2

当x∈（x1，+∞）时，F′（x）>0，即F（x）在（-2，+∞）上最小值为F此时f（x）≤kg（x）恒成立；

②若 k=e2，F′（x）=（ex+2-1）（2x+4）≥0，故 F（x）在（-2，+∞）上单调递增，因为F（2）=0所以f（x）≤kg（x）恒成立；

③若k>e2，则F（-2）=-2ke-2+2<0，故f（x）≤kg（x）不恒成立；

综上所述，k 的取值范围为［1，e2］。

点评：此题相较于上一题相对复杂，平时练习中，要善于利用函数思想进行思考，灵活解题。