一道求微分方程特解习题的推广

高 芳，熊艳琴

（1.池州学院数学与计算机学院，安徽池州247100；2.南京信息工程大学数学与统计学院，江苏南京210044）

二阶常系数线性非齐次微分方程y″+py′+qy=f(x)的求解是高等数学教学中的一个重要内容，一般的高等数学教材[1-2]均会讨论当f(x)=Pm(x)eλx时（其中Pm(x)是m次多项式）特解的形式。

当非齐次项f(x)=Pm(x)eλx时，利用待定系数法，可得特解的一般形式为y*=xkQm(x)eλx

其中k=0,1,2，分别对应当λ不是特征根、单特征根和二重特征根的情形。

一般地，在利用待定系数法求特解时，计算比较繁琐，计算量较大，教学中发现学生经常会出现计算错误。文献[3-5]讨论了二阶常系数非齐次线性常微分方程的一些简便求解方法。本文由一道例题求解出发，给出了当Pm(x)为二次多项式时一个容易计算和记忆的特解公式。

1 待定系数法

先从非齐次项中Pm(x)是最简单的二次多项式进行分析。

例：求微分方程y″-6y′+9y=x2e3x的一个特解。

解：由于f(x)=x2e3x，而λ=3是对应的齐次微分方程特征方程的二重根，因此可设特解为

y*=x2(l x2+m x+n)e3x，对y*求导得

将y*′,y*′′代入原方程，得

在此例中，通过求解可知m,n均为0，特解形式变得相对简单，特解的系数只与f(x)=x2e3x的二次项系数有关。对于f(x)=(ax2+bx+c)eλx的一般情形，二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式又该如何？下面我们进行具体分析。

2 主要结论

对于微分方程

当P2(x)=ax2+bx+c(a≠0)时，分三种情形进行讨论。

情形一、当λ不是特征方程的根时，即λ2+pλ+q≠0时，可设特解为

对y*求导得：

通过比较系数，得：

此时，由计算结果可知特解表达式中的未知系数由a,b,c和p,q,λ的值唯一确定.

情形二、当λ是特征方程的单根时，即λ2+pλ+q=0，2λ+p≠0时，可设特解为

对y*求导得：

将y*′′,y*′,y*代入方程（*）中，整理化简得：

通过比较系数，可得：

特别地，当Pm(x)=ax2时，

此时特解由a,p,λ的值唯一确定，且特解形式相对简单.

情形三、当λ是特征方程的二重根时，即当λ2+pλ+q=0，且2λ+p=0时，可设特解为

y*=x2(a1x2+b1x+c1)eλx，对y*求导得：

将y*′′,y*′,y*代入（*）中，化简整理得：

通过比较系数，可知

在情形三中，特解待定系数里的a1,b1,c1可分别由a,b,c唯一确定，且形式简单便于记忆。更一般地若f(x)=ax2eλx，在计算题中，可直接设特解为y*=a1x4eλx，求导代入方程，可简化计算，通过分析过程可知，当λ是特征方程的二重根时，特解可由较简单的形式给出。情形三下的结果可推广至f(x)=(ax3+bx2+cx+d)eλx的情形，利用待定系数法，此时特解为：y*=x2(a1x3+b1x2+c1x+d1)eλx，其中.若f(x)=ax3eλx，在计算题中，可直接设特解为y*=a1x5eλx，求导代入方程，可简化计算，并提高计算的速度和准确性。