“等差数列前n项和”(第一课时)课堂实录

王晓丽 李玉明

【摘要】 一节好的数学课，能够培养学生创新能力和应用意识，也能让学生在感受数学魅力的同时，实现自身的可持续发展.一节好的数学课，也必然以问题为驱动，引导学生“发现问题—分析问题—解决问题”，构建知识，体验成功，实现自身的发展.

【关键词】 问题驱动;创新能力;应用意识;可持续发展

【教材分析】

本节课是学生在学习了数列的基本概念、等差数列的概念、通项公式的基础上展开的.从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用;就知识特点而言，它是从大量数学问题和生活实际中抽象出来的典型模型，在现实中也有着广泛的应用;就能力培养来看，公式推导过程中渗透的类比、化归、数形结合思想方法，都是培养学生应用意识和创新能力、可持续发展能力的良好载体.

【教学目标】

1.通过高斯的故事及堆放木材的实际问题，探究公式的推导过程及推导方法;

2.通过自我检测，进一步熟练记忆公式、运用公式;

3.通过例1及变式，能灵活运用公式“知三求二”;

4.通过自编题目及变式，认清公式中每个符号的意义;

5.通过推导公式、应用公式，体会从特殊到一般的思维方式，体会方程与函数的思想，感受数学魅力的同时，实现自身的可持续发展.

【教法、学法】

在教学设计上，采用以问题为主线，学生探索、交流与教师启发、引导相结合的教学方法，让学生在“问题”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中提升，在“探究”中创新.

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

师：为快速统计木材数量，伐木工人通常将木材堆放成梯形.今天我们一起来探索其中的奥秘.（PPT1）

【设计意图】激发学生强烈的求知欲，体现数学的实用价值，让学生感到生活中处处有数学.另外，为类比记忆公式Sn= n（a1+an） 2 埋下伏笔.

二、师生互动，探究新知

师：还记得200多年前，10岁的“数学王子”高斯，怎样快速计算出1+2+3+…+100吗？（PPT2）

生：因为1+100=101，2+99=101，…，50+51=101，所以和是101× 100 2 =5050.

师：这算法妙在哪儿？

生：“首尾配对”（“首尾配对”字眼，吸人眼球，引起共鸣）.

师：说得太地道了！可以用你自己的语言说说“首尾配对”的实质吗？

生：（思考）就是把不同数的求和问题转化为相同数的求和问题.（此处有掌声）

师：你就是我们班的“数学王子”！

师：类比刚才的算法，谁能快速计算出图中木材的数量？（PPT1）

（学生独立思考后）

生：（1+2+…+25+27+…+51）+26=25×52+26.

生：（1+2+3+…+50）+51=25×51+51.

生：我感觉这么处理更简单：0+1+2+…+50+51=26×51.

师：真好！大家竟然把“首尾配对”演绎得这么巧妙，轻而易举地将奇数个项求和问题转化为偶数个项求和问题！

师：如果木材的层数是n层，木材数量1+2+3+…+n=？

生：我想应该“分类讨论”解决.

n是偶数时，“首尾配对”即可，1+2+3+…+n= n（n+1） 2 .

n为奇数时可变形配对1+2+3+…+n=0+1+2+3+…+n= n（n+1） 2 .

师：有没有更好的方法可以避免讨论？请小组合作探究.（第一次小组合作）

师：站在高斯这个巨人的肩膀上，我们探求出升级版的“首尾配对”.哪个小组可以在大屏幕上展示一下？

生：1+2+3+…+（n-1）+n， ①

n+（n-1）+（n-2）+…+1. ②

两式相加，可以发现

1+n=2+（n-1）=3+（n-2）=…=n+1，

∴①+②得1+2+3+…+n= n（n+1） 2 .

师：是不是给这种方法起个恰当的名字呀？

（又是一石激浪，学生激情地争论着）

生：“倒序相加”形神兼备！

师：好！请静心思考：刚才小组合作的过程中，你的思维受到了哪些碰撞？

生：倒序相加求和的优势.

生：我发现结果是首项与末项的和乘项数再除以2.

师：很善于观察和总结！那么，任意等差数列{an}，设其前n项和为Sn，

即Sn=a1+a2+a3+…+an=？（PPT3）

生：Sn= n（a1+an） 2 .（异口同声）

师：确定？（毕竟是猜测，有的学生底气不是那么足了）

生：加以证明就行.

（学生自主探究，教师巡视指導）

师：大家这么多好方法，先在小组里分享一下.（第二次小组合作）

师：请每个小组第三发言人在大屏幕上分享证明过程！

生：∵Sn=a1+a2+a3+…+an，

Sn=an+an-1+an-2+…+a1，

∴2Sn=（a1+an）+（a1+an）+…+（a1+an）  n个 ，

∴Sn= n（a1+an） 2 .

师：真好！给大家说说这个过程涉及的知识.

生：上节课学习的性质：若n+m=p+q，则an+am=ap+aq.

师：活学活用！

生：Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+[a1+（n-1）d]，

Sn=an+an-1+an-2+…+a1=an+（an-d）+（an-2d）+…+[an+（n-1）d]，

∴Sn= n（a1+an） 2 .

師：折服于大家富有创造性的解法！其他的证明方法，大家课后继续交流.现在，对照木材图（PPT1），你能说出记忆公式的巧妙方法吗？

生：Sn的公式就是梯形的面积公式.（同学们相互嘀咕了一会，都投来赞许的目光！）

生：伐木工人的奥秘！

生：是呀…

师：请思考：在已知哪些量的情况下，我们可以求出Sn？你理解公式中各符号的含义吗？

（请数学能力相对较弱的同学回答.给他们展示的机会，保证他们也能吃得消，跟得上）

师：如果知道首项和公差d，你能求出an吗？求出Sn可以吗？请说出你的探究过程.

（自主思考后，请数学能力相对较好的同学板演，发挥他们的优点，带动其他同学成长）

生：Sn= n（a1+an） 2 ， ①

an=a1+（n-1）d. ②

将②代入①得：Sn=na1+ n（n-1）d 2 .

师：现在等差数列前n项和公式有两种形式，你能说出具备了哪些条件就可以对等差数列进行求和？

（请数学能力中等的同学陈述.借此观察全班同学的掌握情况.）

【设计意图】绿色课堂主张“学起于思，思源于疑”.“问题”是引发学生积极探索、主动参与的导火索.由于等差数列前n项和公式的推导是本节课的重点，学生又是第一次接触数列求和，对学生来讲是个新事物.特别是探索与发现公式推导的思路是教学的难点.如果直接介绍“倒序相加”求和，有悖学生的认知规律.所以我以问题驱动，辅以小组合作的形式，循序渐进，层层深入引导学生“发现问题—分析问题—解决问题”，最终构建知识，体验成功，实现自身的发展.

在引导学生发现问题后，教师的任务是让学生的思维迅速发散，寻求解决问题的方法.我先让学生独立思考，只要学生有了自己的想法，肯定跃跃欲试地想表达出来，趁机鼓励学生大胆地畅所欲言.这时就可以水到渠成地提炼出倒序相加的求和方法;让学生感受数学对称美的同时渗透数形结合的数学思想.

在提供“合作交流”的机会时，教师要组织和指导学生将自己理解的东西表现出来和同伴分享，当然对有困难的小组要给予指导和鼓励.探究出结果后，鼓励小组代表在大屏幕上展示各自的方法及推导过程，其他小组点评、补充;教师给予肯定和鼓励，并做最后的点拨与总结.

在这里我想强调一个细节的问题：在实际教学中，由于受时间的限制，我们往往舍不得花时间在公式、概念的内涵上下功夫，比如，“你理解公式中各符号的含义”等等问题.但是这一环节很重要，尽管时间少，甚至仅仅是几句话，却有画龙点睛之妙用.学生数学思维的深刻性，广阔性等品质就得到了提高，也为自身的可持续发展打下基础.

三、新知形成，自我检测

师：准备好，挑战自我！限时5分钟！

（PPT3）已知等差数列{an}中，

① a1=5，an=1，n=30，sn= ;

② a1=29，d=2，n=20，sn= ;

③ a1=5，n=30，sn=390，an= ;

④ a1=20，an=54，sn=999，n= ;

⑤ d=2，n=37，sn=629，a1= .

（5分钟后，请数学能力相对弱的同学展示，保证人人会用公式）

【设计意图】凡是学生自己可以完成的事情，教师决不替代.这是5道不断变换条件、直接套用公式的题目，起到督促学生观察分析、套用和记忆公式的作用，也便于教师及时调整教学，更好地达成教学目标.

四、应用新知，强化训练

例1   等差数列{an}的公差为2，第20项a20=29，求前20项的和S20.（PPT4）

师：请大家先思考，自主验算后交流.

（题目难度不大，学生兴致很高，气氛热烈.用不同的方法，顺利拿下例1）

师：大家对公式的掌握很到位！请看变式（PPT5）

变式：{an}是等差数列，请根据表格中的已知数据，完成表格，限时5分钟！

题号 a1 d n an sn

1 0.5 0.5 8

2 27 -3  0

3  -2  -96 -2280

（5分钟后，请班上数学能力中等的两位同学对答案）

师：请重新审视表格中给出的数据，能发现什么规律吗？

生：有5个量，知道其中三个就可以求出另外两个.

师：这就是公式应用的重点“知三求二”.

师：请根据你对公式的认识，编拟2道题，和同桌交换练习！

（每个同学的热情很高涨，积极地交流探讨.有同学举手示意）

生：我同桌给我出的题目挺有意思的.我想在大屏幕上闪一下：3+5+…+（2n-1）= ？

师：谁能说说到底哪儿有意思？

生：这不是求前n项的和.

师：那是求前多少项的和？教师再给出两个这种类型的小题，看看大家能不能抓住题目实质.

（PPT6）

① 4+7+10+…+（3n-2）= ？

② 1+3+5+…+（2n+1）= ？

（前后四人小讨论，整理出答案）

师：从这组题目中你学到了什么？

生：不能死记硬背公式.

师：是呀，不能见n就代，想当然地套用公式，要注意n的含义.

【设计意图】例1及变式，属于“知三求二”的典型题目，也是本节课的重点.我特意设计了表格的形式，让学生恍然大悟：原来等差数列前n项和公式，就是一个关于an，a1，n或者a1，n，d的方程，不知不觉中把方程的思想渗透给学生，让学生解决问题的能力呈螺旋式上升.

学生自编习题的目的是让学生参与课堂，体验课堂，感悟课堂，享受课堂，实现可持续发展中的再创造！没想到把特别需要注意的基本量n引出来了.他们各抒己见，把课堂气氛又一次推向高潮的同时，对公式的认识由感性上升到理性，自身的发展也有了质的飞跃！

五、归纳小结，加深理解

师：本节课你学习了哪些知识？（请数学能力相对弱的同学回答）

师：你最大的体验是什么？（学生畅所欲言）

师：大家说的都很好.那你掌握了哪些学数学的方法？（畅所欲言）

【设计意图】绿色课堂，教师要引导学生从知识、方法、体验、兴趣等等方面进行小结，由特殊到一般进行转化，完成知识目标和能力目标.

六、课堂小测，检查效果（PPT7）

【设计意图】课堂小测是我们一中数学组一直坚持的.限定时间，训练学生的动手能力和运算能力.及时批改，跟踪检查，做到每节课的教学内容落实到位，力争堂堂清！

七、布置作业，升华提高

1.教材41页，A组2，3;B组2，4.

2.小组讨论：14，11，8，…前n项的和是多少？有最大值吗？是多少？为什么？期待下节课大家精彩的讲解.

【设计意图】布置弹性作业使各个层次的学生都有所发展.小组作业培养学生的合作意识与探索精神，这是学生实现自身发展的更高境界！