生活中的数学模型

王亭

【摘要】 数学来源于生活，又服务于生活，生活中的实际问题都可以通过建立数学模型得到解决，本文通过对常见的走路问题数学模型并求解，教师在教学过程中要注重数学的生活化，激发学生学习兴趣，真正实现素质教育.

【关键词】 数学;生活化;走路问题;模型

【基金项目】 该论文为湖南大众传媒职业技术学院重点科研项目“高职院校数学学习困难学生心理教育援助机制研究”（项目编号：14YJ16）的研究成果之一.

数学家笛卡儿曾这样说过.“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学.”我国家喻户晓的数学家华罗庚也曾下过这样的结论.的确，正如两位前辈所说，数学与我们的生活息息相关，数学的脚步无处不在.

比如，商品标价和促销中有数学，购物消费中有数学，装修房子有数学，风扇的扇叶绕着中心旋转、三角形的支架、酒店四边形的推拉门、用坐标表示位置、买彩票中奖的概率问题等等，还有在下雨天走路和跑步到底怎样淋雨更少呢？……许多实际生活问题都可以建立数学模型得到解决，下面就我们最常见的问题——人在匀速行走时步长多大最省力，建立数学模型和大家一起分析研究.

一、问题的提出

人在匀速行走时（速度固定）步长多大最省劲？

二、问题分析

所谓省力就是走路做的功最少，把人行走时做的功看作是人体重心的势能和两脚运动的动能之和.试在此基础上建立数学模型并对所得结果进行评价.

三、模型假设

1.人在水平面上沿直线匀速行走，行走距离为s，行走速度为v，步长为2x.

2.行走过程中，人的重心固定在人体的某个部位，人体总值两位M，腿的质量集中在脚上，一只脚的质量为m，腿长为l.

3.人在行走过程中，脚从抬起到落地间速度不变为v1，两只脚交错地运动，一只脚迈开，另一只脚停在地面上.

4.人在行走过程中不考虑空气阻力和摩擦阻力.

5.人行走时所做功只考虑两部分：提高重心时克服重力所做的功和抬脚给脚以动能所做的功.

四、模型求解与建立

基于以上假设，人在走一步的过程中所做功为两部分，一部分是人的重心升高克服重力做功，这部分功为

W1=Mgh=Mg（l- l2-x2 ）.

另一部分是人抬脚时，脚获得的动能，人提供这部分能量时做的功为W2= 1 2 mv21.

则人走一步时所做的功为

W3=W1+W2= 1 2 mv21+Mg（l- l2-x2 ）. （1）

在同时间内，脚走过的距离是人身体走过的距离的两倍，从而有

v1=2v. （2）

（2）代（1）式得

W3=2mv2+Mg（l- l2-x2 ）. （3）

W3为人走一步所做功，走完全程s做的总功为

W=W3× s 2x =[2mv2+Mg（l- l2-x2 ）]× s 2x . （4）

由实际情况，（4）式中的x必满足

0<x<l. （5）

原问题转化为求由（4）式确定的函数W在（0，l）上的最小值点.

由微分学知，W的最小值点可能使

W x =0.

而 W x =- s 2 [2mv2+Mg（l- l2-x2 ）] 1 x2 + s 2x  Mgx  l2-x2  . （6）

令 W x =0得

Mgx 2 l2-x2  = s 2x2 [2mv2+Mg（l- l2-x2 ）] （7）

Mgs 2l 1-  x l  2  = s 2l2  1   x l  2 · 2mv2+Mgl 1- 1-  x l  2   . （8）

设 x l =sin，cos=  l2-x2  l . （9）

（9）代（8）式得

Mgs 2lcos = s 2l2  1 sin2 [2mv2+Mgl（1-cos）]

Mg 2lcos = mv2 l2  1 sin2 + Mg 2l  1 1+cos

Mg 2l   1 cos - 1 1+cos  = mv2 l2  1 1-cos2

cos= -mv2±（mv2+Mgl） Mgl+2mv2 .

因为cos>0，所以

cos= Mgl Mgl+2mv2 ，

sin2=1-cos2= 4m2v4+4Mmglv2 （Mgl+2mv2）2 ，

sin= 2v m2v2+Mmgl  Mgl+2mv2 ，

x=lsin= 2vl m2v2+Mmgl  Mgl+2mv2 ， （10）

2x= 4vl m2v2+Mmgl  Mgl+2mv2 ， （11）

由微分學理论知，（11）即为所求值.

当腿长l，步行速度v，人体质量M，脚质量m已知时，步长取（11）式给定的值时，人感觉最轻松（最省劲）.

数学来源于生活，数学的知识有的是我们实际生活中已经司空见惯了的，有的是我们运用经验，通过实践活动把经验提炼而成的，但尚未找到其内在联系.只要留心，就会在生活的方方面面找到“数学”的影子，数学在我们每个人的身边，要我们用心不断去体验、发现.

数学又服务于生活，灵活地运用数学，将大大提高人们的生活质量.我们数学教师在教学过程中，不但要注重联系生活，充分挖掘生活中的数学素材，让学生感受数学，激发学习兴趣;而且要注重培养与提高学生的数学建模能力，培养学生的数学应用意识、创新意识以及分析解决实际问题的能力，这样才能真正提高教学质量，促进学生的全面发展.