求积问题中的“反直觉”现象

郜舒竹

【摘 要】“反直觉”现象指的是数学课程内容中蕴含着的与学生的直觉认识相违背的现象。是学生数学学习中产生困难与错误的原因。在数学课程内容中挖掘这样的反直觉现象，有益于在“变教为学”的教學实践中，读懂学生的学习，设计有效的学习活动。求积问题指的是与长度、面积、体积有关的问题，其中蕴含着大量反直觉现象，也是许多学生数学错误产生的源泉。

【关键词】求积；直觉；反直觉

学生学习数学过程中出现错误，是普遍而且必然的现象。寻找并且分析错误产生的原因，是数学教学研究面对的重要课题。挖掘数学课程内容中的反直觉现象，可以成为分析错误原因的有效途径。同时也是实现让错误成为教学资源的有效方法。

一、直觉与反直觉

“反直觉（Counter Intuitive）”现象是相对于人的直觉认识的现象，每一个人依据个人经验，针对某对象都会有一种非逻辑的认识，这种非逻辑的认识属于直觉的范畴。对任何对象直觉认识的正确性，都是有一定范围限定的，一旦超出这个范围，这种直觉的认识就可能不再适用。这样超出直觉范围，使得原有直觉认识不再适用的现象，就叫作反直觉现象。

相对于在算式1的学习中形成的“线性分配”的直觉认识，算式2实质上已经超出了“线性分配”的适用范围，因此就成为了反直觉现象。

在分数加法和减法运算的学习中，学生会出现诸如“[12]+[13]=[1+12+3]=[25]”的错误。在中学学习三角函数的类似公式时，学生会出现类似于“sin（[α+β]）=sin[α+sinβ]”的错误。出现这些错误的根源都在于这些公式不符合学生关于“线性分配”的直觉认识，属于相对于“线性分配”直觉认识的反直觉现象。对这样反直觉现象的了解，有助于预见学生学习中的困难与错误。

二、周长与面积关系的反直觉现象

数学课程中诸如长度、面积和体积的问题，历史上统称为“求积（Quadrature）问题”。此类问题中常常出现与人的直觉认识不同的现象，也就是反直觉现象。比如在学习长方形的周长和面积过程中，较多地接触到如图1样式的图形。

因此关于周长与面积的关系，逐渐就会形成如下的直觉认识：

l周长越长，则面积越大；

l面积越大，则周长越长；

l两个图形如果周长相等，则面积相等；

l两个图形如果面积相等，则周长相等。

当遇到不符合这样直觉认识的图形，也就是遇到反直觉现象时，自然就会出现认知的困难。比如下面的问题：

问题1：图2中两个图形的面积都是5平方厘米，两个图形的周长是否相等？

由于这两个图形违背了“面积相等则周长相等”的直觉认识，因此就可以预见有学生会认为两个图形周长相等。再比如下面的问题：

问题2：图3中的长方形ABCD和曲边图形EFGH的宽度相等，都等于a。竖直的两条直线xx1和yy1相互平行。那么长方形ABCD和曲边图形EFGH的面积是否相等？

图3中的长方形ABCD和曲边图形EFGH的周长显然是不相等的，前者应当小于后者。这时按照直觉的认识，自然就会认为长方形ABCD的面积也小于曲边图形EFGH的面积。而事实上，二者的面积是相等的。这一点可以通过“等量减等量，结果仍相等”进行证明。

首先不难看出，BFGC与AEHD是可以相互重叠的两个图形，因此面积是相等的。用这两个图形同时去掉公共部分BEHC，那么两个图形就分别变为EFGH和ABCD，因此二者面积应当相等。

将反直觉现象融入到学生的学习活动中，可以在教学中引发学生的数学错误，给学生自己思考并感悟错误原因的机会，实现让错误成为教学资源的目的。而且还有助于引发学生的“好奇心（Curiosity）”，增强数学学习中的思维含量。

三、表面积与体积关系的反直觉现象

类似的反直觉现象在立体图形中也会出现。比如下面的问题：

问题3：图4中有标记为“1”和“2”的两张完全相同的长方形（长和宽不相等）纸。首先将1号长方形纸直接卷成一个圆柱体。将2号长方形纸旋转90度后卷成一个圆柱体。那么这两个圆柱体体积是否相等？

由于两个圆柱体的侧面是完全相同的长方形纸围成，因此两个圆柱体的表面积应当相等。自然而然的直觉思维就会认为两个圆柱体的体积也应当相等。而事实上两个圆柱体的体积是不相等的。

同样方法可以得到2号圆柱体的体积为：[b2a4π]。二者是不一样的。同样的反直觉现象也出现于对于圆锥体积的学习中。在图5中，右侧圆柱体可以看作是左侧长方形旋转而成，圆锥体可以看作是左侧三角形旋转而成。

在小学六年级数学课程中，通常会通过实验的方法得到“圆锥体积等于等底等高圆柱体积的三分之一”的结论。而事实上这一结论并不符合学生的直觉思考，根据平面图形的经验，图5中左侧三角形的面积应当是长方形面积的二分之一，因此直觉的认识是，右侧圆锥体体积应当是圆柱体体积的二分之一，而不是三分之一。

如今的数学教学倡导“变教为学”，实现学习活动为中心的课堂教学。这就需要为学生设计有效的学习活动。这样的学习活动不仅应当突出数学知识的本质，还应当与学生认识规律有机结合。关于反直觉现象的研究就是力图实现这样的结合。

（首都师范大学初等教育学院 100048）endprint