懂得示范 方能自觉

漆光宗

一、曲线的代数刻画——方程

为了保证点在某曲线上运动则它的坐标就应该满足一定的条件，即动点的横坐标x和纵坐标y之间应该满足一定的关系，我们可以把这个关系式（关于x，y的等式）看作方程，如果同时满足如下两个条件：一是坐标满足这个方程的所有的点都在这条曲线上，二是这条曲线上的所有点的坐标也都满足这个方程，那么这条曲线就可以用这个方程来加以刻画，这个方程就叫作这条曲线的方程.

那么如何建立一条曲线的方程？有没有一般的求曲线方程的套路？在求曲线方程的过程中需要注意哪些问题？嗯，面对问题，我们得跟往常一样，到课本中去寻找答案！

二、直线点斜式方程给我们的启示

课本中第一次研究的曲线是直线（可以看成特殊的曲线），第一次建立的直线方程是点斜式方程，那么它就应该是求曲线方程的第一次示范，让我们来回顾一下这次经历，看看能从中得到什么样的启发，能否从中窥探出求曲线方程的一般步骤？

课本摘录：

若直线l经过点A（-1，3），斜率为 2，点P在直线l上运动，那么点P（x，y）满足什么条件？

当点P（x，y）在直线l上运动时（除点A外），点P与定点A（-1.3）所确定的直线l的斜率恒等于-2，故有（y-3）/（（x-（-1））=-2即y-3=-2[x-（-1）]，显然，点A（-1，3）的坐标也满足此方程，

一般地，設直线l经过点P₁（x₁，y₁），斜率为k，直线l上任意一点P的坐标是（x，y）.

当点P（x，y）（不同于点P₁）在直线l上运动时，PP₁的斜率恒等于k，故有（y-y₁）/（x-x₁）k，故Y-Y₁=k（x-x₁），可以验证：直线l上的每一个点（包括点P₁）的坐标都是这个方程的解，反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l上.这个方程就是过点P₁，斜率为k的直线Z的方程.

从以上摘录可以看出，课本上是先建立一条特殊的直线（经过点A（-1，3），斜率为 2）的点斜式方程，然后再仿照着建立了更一般的一条直线（经过点P₁（x₁，y₁），斜率为k）的点斜式方程，不难梳理出求曲线方程应该有以下几个步骤：

（1）建系：两处题设中都是以坐标的形式给出点A（-1，3）或P₁（x₁，y₁），这说明坐标系已经给出了，那么如果题设中没有给出坐标系，我们还得首先去建立坐标系.因为只有有了坐标系才有坐标，才能运用坐标来刻画画点.

（2）设点：“点P（x，y）在直线l上运动，……，直线l上任意一点P的坐标是（x，y）”就是设出直线上任意一点P的坐标为（x，y），这里要注意的是需强调“任意”，因为它需要代表这条曲线上的所有点.

（3）寻找几何条件：寻找曲线上所有点的坐标所满足的关系式（方程），需要想办法找到保证点在曲线上所应满足的几何条件，如“点P与定点A（-1，3）所确定的直线l的斜率恒等于2”，“当点P（x，y）（不同于点P₁）在直线l上运动时，PP1的斜率恒等于k”.

（4）将几何条件坐标化：把动点坐标（x，y）代入到几何条件中，如（y-3）/（（x-（-1））=-2，（y-y₁）/（（x-（-1）0=k

（5）化简、验证：为了使得方程呈现形式简单，一般需要对前面坐标化的几何条件进行化简，而且还需要对方程进行验证以确保两个条件：一是坐标满足这个方程的所有的点都在这条曲线上，二是这条曲线上的所有点的坐标也都满足这个方程.如方程（y-3）/（（x-（-1））=-2就不表示整条直线，因为直线上的点（ 1，3）就不满足这个方程，而方程y-3=-2[x-（-1）]就同时满足以上两个条件，它才是直线l的方程.

三、领会课本示范意图，形成求线方程的一般套路

由此可见，求曲线方程是有一定的套路可循的：建系，设点一寻找几何条件一将几何条件坐标化一化简，验证.

中学课本中网的标准方程的建立，以及后续将要学习的椭圆、双曲线以及抛物线的标准方程的建立都是这一套路的不断重复.看来我们得好好体会，并努力让它逐渐成为一种白觉.

例1 直角三角形OAB的斜边长为4，若点A，B分别在过点O（原点）且相互垂直的两条直线l₁，l₂上运动，求AB中点M的轨迹方程.

例2 如图1，平面内，已知圆O₁的半径为2，圆O₂的半径1，两圆的圆心距为10，求一曲线E，使得从曲线E上任一点P分别作两圆切线PA，PB，PC，PD，切点分别为A，B，C，D，恒有∠DPC=∠APB，求曲线E的方程.

四、让用方程刻画曲线的意识

成为一种自觉

解析几何的核心是用解析法研究几何问题，因此，在解决解析几何问题时，要有意识地用坐标刻画点，用方程刻画曲线，并从数与形两个方面去思考，实现两者的相互转换，找到让问题得以快速、有效地解决的办法，并努力让这种意识成为一种自觉，

例3 已知点A（-2，o），B（l，3），对圆C：（x-a）²+（y-6）²=36上任意一点P，PA/PB恒为定值λ，求实数a和λ的值.

方法二：注意到题中给出的几何条件PA/PB恒为定值λ，那么满足几何条件PA/PB=λ的动点P应在某条曲线D上运动，我们只需设出动点P的坐标为（x，y）并代入几何条件PA/PB=λ，把其坐标化即可得到曲线D的方程：

同学们，课本中的例题、练习、习题以及一些知识点的描述都具有很强的基础性、典型性与示范性，我们在平时的学习中需要自觉地去重视课本的示范功能，常梳理，多体会，勤总结，提炼内化成自己的解题策略，并白发地运用到平时的解题中去.endprint