错中悟道：系统掌握概念 全面解决问题

张春风

许多同学对直线的倾斜角、斜率、直线和圆的方程以及直线与圆的位置关系的一些概念和性质掌握不全面，易导致错误，下面笔者将举例说明.

一、忽视斜率公式的限制条件

1.已知两点A（-1，2），B（m，3），（1）求直线AB的斜率k；

反思 在求解直线的斜率与倾斜角问题时，一定得抓住概念核心，斜率是倾斜角在[o，π/2）u（π/2，π）上的正切函数.倾斜角为号时，斜率不存在，所以当遇到含参问题时一定得对特殊情形分类讨论，避免出错.

二、忽视对直线方程所设形式的限制

错因分析 弦长不为直径时直线总有两条，忽视了斜率不存在的情形是造成漏解的原因，在设斜率时应先考虑斜率不存在的情形，进行分类讨论.

反思 根据已知条件求解直线方程时都应注意运用的限制条件，否则一定会漏解.点斜式或斜截式是典型的易漏解情形，斜率不存在的特殊情形优先考虑显得尤为重要.

一、对隐含的条件挖掘不到位导致错误

3.已知圆的方程为x²+y²+（λ-2）y+5=0，并且定点P（2，3）在圆外，则实数λ的取值范围为

错解 点P（2，3）在圆外，所以4+9+2λ+（λ-2）×3+5>o，λ>-12/5.

错因分析 表面看起来是忽略二元二次方程表示圆的条件，从而导致错误.实际上是解决问题的层次不分明，首先应该考虑的是方程能表示圆，其次才是点与网的位置关系.

正解 點P（2，3）在圆外，所以4+9+2λ+（λ-2）×3+5>o，λ>-12/5.

在圆的方程中λ2+（λ-2）2 4×5>0，所以λ>4或λ<-2.

所以实数A的取值范围为 （-12/5，-2）U（4，+∞）.

变式 已知圆C的方程为x²+（y-4）²=4，点0是坐标原点.直线l：y=kx与圆C交于M，N两点，设Q（m，n）是线段MN上的点，且2/OQ²≥1/OM²+1/ON².请将n表示为m的

错因分析 本题忽视了建立目标函数时得考虑定义域.究其原因实际是忽视了直线l：y=kx与网C交于M，N两点的前提条件，将几何关系代数化，转化为直线与网的方程组有解即利用判别式大于O；或者利用圆心到直线的距离d

反思 对于范围的求解一直都是一个难点，这两题之所以出错关键还是在于解决问题时层次不分明，要充分挖掘限制条件，这就需要精细化分析并全面理解掌握网的方程、直线与网位置关系的相关概念.比如点在圆外，同学们只想到位置关系的代数化，而忽略了圆的方程本身的限制；而第二题也是典型的错误类型，我们的重心往往放置在求解关系上而忽略了直线与圆相交的前提.

相关练习

1.已知圆0：x²+y²=4，则过点P（2，4）与圆O相切的切线方程为

2.已知直线l过点A（5，2），直线l在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求直线l的方程.

直线与网相关概念性质的掌握至关重要.一是注重概念理解的全面精准，在学习过程中能把握概念的核心要素解决问题；二是注重解决问题时层次分明，充分挖掘题目中的隐含条件.这样我们就能解决直线与网中那些“会做但不能全对”的易错题.

参考答案

1. 3x-4y+10=0或x=2. 2.2x-5y=0或x+2y-9=0.