统计与概率题型解析

刘艳

摘要：概率与统计是现阶段高中数学中比较重要的一个知识环节，该环节的知识点有许多方面都和生活息息相关的，根据这个特点，就可以帮助学生更好的理解题意.现阶段高中的概率与统计知识涉及面比较广，通常包括抽样方法的使用、频率分布直方图以及茎叶图的绘制、数据构成的线性回归分析、独立性经验的原理与方法应用等，在运用这些知识的时候需要结合具体的案例，来详细了解各个类型题目在解决时对应的知识点.

关键词：知识应用；统计与概率；题型解析

由于在现阶段的学习与生活中，时刻都可以遇到与概率统计相关的决策问题，有时候为了能够更好的为问题找到一个合适的解决办法，就需要使用到一些专业的数学知识来进行有效的分析.为了提高学生对知识的判断能力以及对概率时间灵活的掌握水平，本文重点选择了有关该知识的几类具体题型逐一进行讲解，希望能够更加清晰的帮助学习者全面掌握概率与统计模块具体的知识应用.

一、抽样方法的运用

例1某健身会所近日召集全部参加健身的会员开展了一次健身活动，整个活动被划分成了单车组与瑜伽组，参与的人每个人只能最多选择一个组来进行报名.在本次活动中的数据记录中，参加活动的职工中有青年人大概约占425%，中年人约占475%，老年人约占10%；瑜伽组所有的人数则是全部人数的14，该组内，青年人50%，中年人占40%，老年人占10%.现在采用分层抽样确定一个容量为200的样本，试问其中单车组中三类人群应该怎样抽取比较合适.

解析首先需要确定单车组三类人群分别所占比重为多少，假定瑜伽组人数x，另外单车组三类人群各占比例定为a，b，c，因此就可以得到式子：

40%x+3xb4x=475%，

10%x+3xc4x=10%，

得到b=50%，c=10%，a=40%.

接下来分别计算三个年龄阶段人数具体数值：

抽取的青年人数为：200×34×40%=60人，

抽取的中年人数为：200×34×50%=70人，

抽取的老年人数为：200×34×10%=15人.

二、寻找数字特征

现在有一类题型，主要是围绕数字之间存在的一定规律来做文章，因此就应该站在寻找数字规律与特征的角度，进一步寻找解题办法.

例2如果一组样本数t1，t2，t3……t10之间的标准差值是8，按照这一规律来看，样本2x1-1，2x2-1……2x10-1的标准差数值是多少.

解析如果将第一组数据中的标准差进行设定，假设其为q，因此q=8，所以q2=64，后一组数据的方差也就为22×64，因此其标准差为16.

三、古典概型

例3有3粒种子同时埋在一个花盆中，每一颗种子都只有一半的出芽率.如果栽培者需要花盆中不能少于1颗种子成功出芽，那么栽培结果比较成功，并且不用进行后续的补栽；一旦没有种子出芽，就必须补栽，那么该花盆内必须补栽的概率应该为多少.

解析题干中的已给条件已经说明了每颗种子最终的成活率为一半，也就是12，因此两种情况发生的概率相互均衡.假设将其中种子成活发芽看做1，没有成活看做是0，可以有以下几种可能事件：（1，1，1），（1，1，0），（1，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（0，1，0），（0，0，1），（0，0，0），一共8种事件，可以清晰的找出全部为0，也就是三粒种子全部死亡的几率只有1种，因此需要补栽概率为18，反之不需要则为1-17=78.

例4有两个骰子，求解：

（1）点数之和为4倍数事件出现的概率是多少；

（2）点数之和超过5低于10事件出现的概率是多少.

解按照题中所要求的概率事件发生特点，将所有可能发生的点数排列组合列出后，发现满足（1）事件的情况有：

（1，3），（2，2），（2，6），（3，1），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（6，6），

因此P（A）=14.

同理，按照“點数之和超过5低于10”来寻找满足要求的事件情况有20种，分别是（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）， （2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（3，6），（4，5），（5，4），（6，3）.所以P（B）=59.

四、几何概型

例5有一根全长为1m的绳子，需要将其截成三个小段，那么这三小段绳子都小于绳子全长12的概率是多少.

解析在这道题中可以假定截下来的第一截绳子为a，第二截为b，第三截用前两节表示则为1-a-b，因此通过题意，可以确定其发生的范围在下侧图1中阴形区域中，用字母表示为：

Ω={（a，b）|0

因此阴形区域所形成的三角形面积计算为：

12×（12）2=18，因此“三小段绳子都小于绳子全长12的概率”为P=14.

例6如图2所示，整个矩形ABCD中存在一个点P，并且AB=5，AD=7.如果随机朝四边形内部将P点进行投掷，那么∠APB>90°的概率为多少.

解因为该点P位置处于随机的状态，并不固定，因此投掷在任何点都有可能.如果将该四边形的总面积看成Ω，最终如果想要保证∠APB>90°这个条件成立，就需要将AB看成一个圆的直径，将直径为AB的半圆区域设为Z，因此事件“∠APB>90°”的概率就可以转为求解二者面积之间比例关系的概率，因此：

Z面积=12×π×（52）2=25π8，

Ω面积=5×7=35， 二者面积找到了，也就能够进一步确定P（Z）=25π8×35=5π56.

综上所述，高中数学中统计与概率涵盖的内容十分广泛，不仅各类题目能够在题干的情节设定上不断加以完善，同时其所对应的知识点也各不相同，对于这一知识模块来说，更需要紧密的结合实际生活，积极的发散思维，寻找问题解决的突破口，只有这样，才能够针对无论是几何概型，还是古典盖型都能够灵活应对.

参考文献：

[1]谢芳，张春生《普通高中数学新课程标准 （实验）》解读 [J] 山西广播电视大学学报，2013（3）：51-52.

[2]贾建军高中数学新课程标准的教学方法与体会[J].中国校外教育理论，2007（5）：84 .

[3]杨虎转化思想搭台函数最值唱戏 ——一道高中联赛不等式问题的解法探索[J].中学生数理化（高二），2016（11）：25.