基于有限元方法的阶梯形超声变幅杆的设计与修正

王忠进，缪兴华，胡神阳，汪炜

（南京航空航天大学机电学院，江苏南京210016）

超声变幅杆在超声技术、特别是功率超声设备的振动系统中有着举足轻重的地位，其主要作用是将机械振动的质点位移或速度放大，或将超声能量集中在较小的面积上，即具有聚能作用[1]。由于超声换能器的输出振幅只有几微米，但在功率超声加工领域所需振幅要达到几十甚至几百微米，所以换能器必须和变幅杆配合，才能输出所需的振幅。

按照振动方向可将变幅杆分为纵向振动、弯曲振动、扭转振动三大类。其中，纵向振动变幅杆可分为简单形和复合形，简单形又可分为指数形、圆锥形、悬链形及阶梯形，复合形则是由各种简单形变幅杆根据实际需要组合而成的[2]。变幅杆的设计方法主要有解析法和等效电路法，其计算量较大，且结果存在误差[3]。本文采用解析法设计变幅杆，使用CRO/E建立三维模型，并运用ANSYS Workbench对变幅杆进行模态分析[4]，同时对阶梯形变幅杆频率修正的过程进行仿真分析，根据修正的仿真结果指导修正过程，以此提高修正效率。

1 变幅杆的理论分析与设计

1.1 变截面杆纵振动的波动方程

某变截面杆见图1。假设变幅杆是由均匀且各向同性的材料构成，不计机械阻抗，且横截面上各点所受的应力均匀。其对称轴为坐标轴x，作用在小体元（x，x+dx）所限定的区间上的张力为dx，根据牛顿定律可写出动力学方程为[1]：

图1 变截面杆的纵振动

式中：S=S（x）为杆的横截面积函数；ξ=ξ（x）为质点位移函数为应力函数；ρ为变幅杆的材料密度；E为杨氏模量。

在简谐振动的情况下，式（1）可写成：

式中：k2=w2/c2。其中，k为圆波数；w为圆频率；c为纵波在细棒中的传播速度式（2）即为变截面杆纵振动的波动方程。

1.2 阶梯形变幅杆的理论分析

如图2所示，阶梯形变幅杆由两段不同截面积的均匀杆组成，其中直径较大的一端为大端，直径较小的一端为小端，以下统一简称为大端、小端。

图2 变幅杆示意图

由此可得到均匀截面杆的波动方程为：

式为：

1.3 阶梯型变幅杆的设计

为实现整个超声振动系统的共振，变幅杆的固有频率应与换能器的谐振频率一致，即尺寸必须满足频率方程，变幅杆的设计频率为整个振动系统的设计频率。

1.3.1 超声变幅杆和工具头的材料选择

超声变幅杆的材料特性决定其传振效果和放大倍数，要求材料在振动时的损耗小、疲劳强度高，且声阻抗和工具头、换能器匹配。符合上述要求的金属材料有钛合金、45钢、铝合金、铜镍合金等。其中，钛合金的性能较好，但机械加工较困难，价格相对较贵，故一般选用45钢、铝合金等材料。考虑到超声波在不同介质中传播声阻抗匹配，能量损耗较多，且换能器前盖板采用铝合金研制，故选用硬铝作为超声变幅杆的材料；考虑到工具头在加工过程中磨损严重，故选择模具钢作为工具头的材料。变幅杆、工具头的材料性能参数见表1。

表1 材料性能参数表

1.3.2 变幅杆尺寸计算

设计变幅杆的工作频率为28 kHz、大端直径D1=25 mm、小端直径D2=15 mm。如图3所示，变幅杆总长为波长的二分之一，其中波长λ为：

由式（6）、式（7）可得α=0.5、N=1.67，通过查手册可知过渡圆角R取值5 mm[2]。

图3 变幅杆设计示意图

1.3.3 工具头对变幅杆的影响

在设计工具头时，可将其看作直径为15 mm、长度为14 mm的圆柱体。由于工具头的直径小于波长的十分之一（15 mm＜18 mm），长度小于波长的四分之一（14 mm＜45 mm），因此，在设计阶段可根据公式计算工具头的等效质量，以减小设计任务的复杂性。如图4所示，根据机电类比[5-7]：

由此可得lb′=28 mm。则b′=b-lb′=12 mm。因此，变幅杆大端长度为55 mm，小端长度为12 mm，过渡圆角R=5 mm。

图4 工具头对变幅杆谐振频率的影响示意图

2 超声变幅杆的有限元分析

为了验证微细超声振动系统设计的合理性，采用ANSYS Workbench 15.0仿真分析软件对变幅杆和工具头进行模态分析，主要用于确定变幅杆和工具头的固有频率及振型。具体分析步骤为：①建立有限元模型，设置材料特性；②定义接触区域；③定义网格控制并划分网格；④施加载荷与边界条件；⑤定义分析类型；⑥设置求解频率选项；⑦对问题进行求解；⑧对结果进行评价分析，具体表现为确定谐振频率及振型。

根据上述设计尺寸，在CRO/E软件中对超声变幅杆及工具头进行三维建模，并将其导入ANSYS中，利用自动网格划分功能对变幅杆和工具头进行网格划分[8]，结果见图5。

图5 超声变幅杆和工具头的网格划分模型

设置模态分析的频率范围为20～80 kHz，共求得6个谐振频率。在模态分析时，假设工具头和变幅杆不承受任何载荷；在装夹时，仅对变幅杆节面处的圆周面进行固定。所设计的工具头和变幅杆的谐振频率为28 kHz，由图6可知，与之最接近的频率为28.206 kHz[9]。由此可得出结论：在此频率下，变幅杆和工具头处于厚度方向振动状态，即设计对应的振型为纵振模式，该仿真结果与理论设计的偏差为0.736%。同时还可看出，端面的输出振幅最大，设计节面位置的位移为零，满足设计要求。

图6 谐振频率分析结果

3 超声变幅杆的修正

由于存在加工误差，加上变幅杆的材料金相组织分布不均匀且含有杂质等原因，使制作出的变幅杆频率与设计的理论值不符，故需对变幅杆加以修正，使其达到加工所需的值。利用阻抗分析仪检测得到变幅杆的谐振频率为26.423 kHz。为了提高修正效率，改变变幅杆三维模型的大、小端的长度并对其进行仿真，利用仿真结果指导修正过程。

由图7～图10所示仿真结果可知，变幅杆大端长度减少1 mm，频率增加232 Hz，长度减少2 mm，频率增加459 Hz；变幅杆小端长度减少1 mm，频率增加304 Hz，长度减少2 mm，频率增加785 Hz。由此可得，在修正过程中，变幅杆小端长度变化对频率得影响比大端长度变化影响大，所以大端的修正尺寸应比小端修正尺寸更大；且在相同条件下，为保证频率的变化更稳定，应先修大端、再修小端。

图7 大端长度减少1 mm的仿真结果

在上述结论的指导下，本文对变幅杆进行了修正。表2是修正过程中的变幅杆频率变化情况，数据显示，大端长度修正2 mm，频率增加493 Hz；小端长度修正1.5 mm，频率增加585 Hz，证明了小端长度变化对频率影响较大的结论。同时，通过先对变幅杆大端长度修正2 mm得到了变幅杆频率变化的大致范围，并利用其确定了小端长度修正1 mm时，变幅杆频率不高于28 kHz，从而无需再进行新的修正，大幅提高了效率。在对变幅杆长度进行反复修正后，振动系统的谐振频率逐渐向设计值靠拢，最终达到27.865 kHz，满足了设计要求。

图8 大端长度减少2 mm的仿真结果

图9 小端长度减少1 mm的仿真结果

图10 小端长度减少2 mm的仿真结果

表2 变幅杆修正过程及其结果

4 结束语

本文设计、制作、修正了一个阶梯形的变幅杆，使其符合设计要求。通过ANSYS有限元分析软件对该阶梯形变幅杆的频率修正过程进行仿真分析，可确定先修正大端还是小端，并根据修正大端变幅杆谐振频率变化的情况，估算出修正小端长度时的谐振频率变化范围，减少在修正小端长度时的尝试性修正，大幅提高了修正效率。

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