葡萄酒质量的评价

许珊珊+谭兵+李屹+何婷��

摘要：现行的葡萄酒质量的评价体系是建立在人的感官上进行的，如何通过一些量化的理化指标来评价葡萄酒质量是一个值得研究的方向。为此，利用多元统计分析的相关知识，通过研究酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量之间的关系，客观的评价了葡萄酒的质量，成功的对酿酒葡萄进行了分级。

关键词：t检验法；K均值聚类；典型相关分析；多元线性回归

中图分类号：F27文献标识码：Adoi：10.19311/j.cnki.16723198.2018.09.028

1问题背景

葡萄酒质量的好坏主要依赖于评酒员的感观评价，由于人为主观因素的影响，对于酒质量的评价总会存在随机差异，找到一种简单有效的客观方法来评酒，如何采用一个量化的评价标准就显得尤为重要了。本文根据全国大学生数学建模竞赛2012年A题的问题和数据，通过研究酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量的关系，以及葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标之间的关系，对葡萄酒的质量进行了客观评价和分级。

2模型假设

（1）假设附件数据来源真实有效；

（2）假设两组品酒员在相同环境下品酒，采用评分标准一样；

（3）假设酿酒葡萄和葡萄酒编号一一对应。

3符号说明

4模型建立与求解

4.1问题一的模型建立与求解

4.1.1数据预处理

在数据分析之前通常要对数据进行预处理，附件1包含两组品酒员分别对红葡萄酒和白葡萄酒的评分数据，每组品酒员有10个，红葡萄酒样品有27个，白葡萄酒样品有28个。观察数据我们可以发现，部分数据存在缺失和异常现象，我们对其正常化处理。对于数据缺失情况，例如第一组红葡萄酒样品20号中品酒员4号对色调评分数据缺失，我们采用剩余数据的均值替换法来修补缺失数据。对于数据异常情况，例如第一组白葡萄酒样品3号中品酒员7号对持久性数据评分超过其规定最大值，我们也是采用“先舍弃后均值替换”的方法。

4.1.2评分数据正态性的检验

对数据进行预处理后，我们对附件1中品酒员对酒样品的评价总分进行了计算，然后得出了红葡萄酒和白葡萄酒的得分均值，其图像如图1、图2所示。

观察图1、图2可以发现，两组品酒员对红葡萄酒和白葡萄酒的得分均值虽然在数值上有出入，但其变化趋势大致一样，为了评价两组品酒员的评价结果有无显著性差异，我们拟采用双正态总体t检验法，为此我们需要对两组品酒员的评分数据进行正态性检验。

根据其得分均值数据，我们采用MATLAB正态检验性的相关函数，绘制了两组品酒员对红葡萄酒得分均值的频数分布和正态概率如图3所示。

观察图3我们可以发现，两组品酒员对红葡萄酒得分均值频数大致符合正态分布，而正态概率图正说明了得分均值的概率落在直线周围，所以我们可认为两组品酒员对红葡萄的得分均值服从正态分布，我们再利用函数lillietest来检验是否服从正态分布，结果显示H=0，则可以认为是服从正态分布的。针对两组品酒员对白葡萄酒的得分均值亦采用上述方法，结果表明其服从正态分布。

4.1.3双正态总体t检验

t检验是一种比较成熟的检验方法，针对本问题，采用双总体独立样本的t检验法，其检验统计量为：

（1）

其中S21，S22表示两样本方差，n1，n2表示两样本量。

当样本量n1=n2=n时，t检验统计量化简为：

（2）

首先提出无效假设与备择假设：H0：两组品酒员评价结果无显著性差异，H1：两组品酒員评价结果有显著性差异。

计算两组品酒员对红葡萄酒和白葡萄酒评分均值的t统计量，绘制其显著性检验结果如图4所示。

观察图4再结合t检验推断依据，在显著性水平为0.05的情况下，t检验值小于t（df）0.05，所以接受原假设，即两组品酒员评价结果无显著性差异。接着计算得到了两组品酒员对红葡萄酒和白葡萄酒的平均显著性t检验值分别为1.7539和1.1356，这说明品酒员对白葡萄酒评价结果的差异小于对红葡萄酒的差异。

4.1.4哪组结果更可信

为了评价哪一组结果更可信，我们可以根据品酒员对酒样品评价得分的方差来体现，方差越小，说明品酒员之间评价结果越接近，评价结果越可信。

观察图像可以发现，对于红葡萄酒和白葡萄酒，第一组品酒员评分的方差均大于第二组品酒员评分的方差，综上，我们可认为第二组品酒员的评分数据更可信一点。

4.2问题二的模型建立与求解

根据酿酒葡萄理化指标和葡萄酒质量对酿酒葡萄进行分级，也就是对酿酒 进行聚类。查阅文献可知，K均值聚类法具有广泛的应用，是典型的基于原型的目标函数聚类方法的代表，它是数据点到原型的某种距离作为优化的目标函数，利用函数求极值的方法得到迭代运算的调整规则。限于篇幅原因，其实现原理和方法见参考文献。

4.2.1根据葡萄酒质量聚类

由问题一分析可知，两组品酒员评价结果无显著性差异，因此本文采用两组品酒员评分均值来进行分析。利用K均值聚类算法对红葡萄酒质量进行聚类得到图7。

图7红葡萄酒K均值聚类结果图

根据分类的结果以及各葡萄样品酒综合得分最终将酿酒葡萄分为A（优质）、B（良好）、C（中等）、D（差）四个等级，客观地反映了酿酒葡萄的理化指标与葡萄酒质量之间的联系。对于红葡萄酒的分类结果如表2所示。

4.2.2根据酿酒葡萄酒理化指标聚类

观察表3中酿酒葡萄的理化指标，分为一级指标和二级指标，为了指标级别的统一性，我们选择一级指标进行研究，但一级指标仍然有9个，为此，我们采用主成分分析法（Principal Component Analysis，PCA）对指标进行降维。主成分分析，是考察多个变量间相关性一种多元统计方法，研究如何通过少数几个主成分来揭示多个变量间的内部结构，即从原始变量中导出少数几个主成分，使它们尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此间互不相关.通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组合，作为新的综合指标。endprint

利用主成分分析法先对酿酒葡萄指标进行降维，然后在利用K均值聚类法对降维结果进行聚类。以红葡萄为例，根据PCA得分利用K均值聚类的结果如图9所示。

与根据葡萄酒质量的分级结果比较，发现两者一致性较差，这在情理之中。根据不同的评判标准就会得到不同的结果，根据葡萄酒分级的目的，可能认为根据葡萄酒评分对酿酒葡萄进行分级更合理一点。对于白葡萄酒情况类似，限于篇幅不再给出白葡萄酒的分级结果。

4.3两组变量之间的关系

4.3.1典型相关分析

欲分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系，可以采用典型相关分析法，典型相关分析的目的识别并量化两组变量之间的关系，将两组变量之间的关系转化为一组变量的线性组合与另一组变量的线性组合之间的相关关系分析，其基本思想是主成分分析。

根据附件2发现，酿酒葡萄的一级理化指标有30个，葡萄酒的一级理化指标有9个，我们采用MATLAB中的canoncorr函数分析这两组变量之间的关系，分析结果表明，九组典型相关变量的相关系数均为1，绘制了九组典型相关变量得分如图10所示。

由于典型相关变量太多，且其表达式较复杂，故此种方法对分析酿酒葡萄与葡萄酒理化指标之间的联系用处不大。

4.3.2多元线性回归模型的建立

多元回归分析是研究多个变量之间关系的回归分析方法，确定变量之间数量的可能形式，并用数学模型表示如下：

（3）

其中β0为截距项，βi为偏回归系数，ε为残差项。

假定：

（4）

建立模型后，需要对模型进行拟合度检验，就是用R2检验样本回归方程的变量的线性关系是否显著，此外可以用F检验对整个回归进行显著性检验，即Y与所考虑的k个自变量是否有显著性线性关系，F检验统计量为：

（5）

其中ESS为回归平方和，RSS为残差平方和，n为样本容量，k为自变量个数。

给定显著性水平α=0.05，可得到临界值Fα（k，n-k-1），由样本求出统计量F的数值，通过与F的临界值进行比较，若FF（0.05）（k，n-k-1），则拒绝原假设，即参数βi不全为0，认为回归方程在0.05水平上显著。

为了便于分析，我们将附件2中的一级指标进行编号，酿酒葡萄的一级指标从氨基酸总量、蛋白质、VC 含量直到b*（+黄；-蓝）分别命名为x1，x2，x3，…xn，葡萄酒的一级指标从花色苷、单宁、总酚直到b*分别命名为y1，y2，y3，…，yn。建立葡萄酒理化指标y与酿酒葡萄理化指标x之间的关系，由于酿酒葡萄一级指标多达30个，为此，需要对酿酒葡萄一级指标进行降维，选择主要的指标进行分析。以花色苷为例，针对葡萄酒的其他理化指標的分析与之类似。建立酿酒葡萄与花色苷之间的相关系数矩阵，选择相关系数绝对值大于均值的变量。其相关系数矩阵如表5所示。其中X表示将该变量舍去。

根据R2的大小，可判断出多元线性回归方程的契合度，结果显示，在置信度95%下，R2=0.98，可知方程的吻合性非常好。且F=19.4>F（0.95，19，7）=3.46，与显著性概率0.05相关的p=0.00027<005，这说明回归方程中的每个自变量的选取都是有意义的。最后得到葡萄酒花色苷与酿酒葡萄一级理化指标的多元线性回归方程为：

y=β0+β1x2+β2x4+β3x6+…+β19x28+β20x29（6）

其中x2、x4、x4、x28、x29、y分别代表蛋白质、酿酒葡萄花色苷、苹果酸、L*、a*、葡萄酒花色苷。

参考文献

[1]全国大学生数学建模竞赛官网，2012年高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛题[EB/OL].http：//www.mcm.edu.cn/problem/2012/2012.html.

[2]百度百科，t检验定义[EB/OL].https：//baike.baidu.com/item/t%E6%A3%80%E9%AA%8C/9910799？fr=aladdin.

[3]百度百科，K均值聚类[EB/OL].https：//baike.baidu.com/item/K-means/4934806？fr=aladdin.

[4]朱建平.应用多元统计分析[M].第3版.北京：科学出版社，2016.

[5]百度百科，主成分分析法[EB/OL].https：//baike.baidu.com/item/%E4%B8%BB%E6%88%90%E5%88%86%E5%88%86%E6%9E%90/829840？fr=aladdin.endprint