求数列通项公式的另一方法

安徽省合肥市庐江裴岗中学 邢宝清

数列一直是高考中的重要内容，无论是全国高考试卷还是自主命题的试卷，数列都是考查的重点，同时，数列对提高中学生思维，强化中学生逻辑推理能力，都起到了积极的作用。而求数列的通项公式又是此内容的重点，在近几年的高考中，有关递推数列的通项公式方面的试题越来越多，难度越来越大，仔细研究大量的数列试题，其中大部分试题的解题方法无非是把它们转化为等差数列或等比数列来解，而转化的常见方法是待定系数法，但有时转化过程却使同学们感到很难发现其特殊的情况，现专门探讨一种求递推数列的通项公式的方法——特征根法，希望能给同学们一些启迪。特征根法是解常系数线性微分方程的一种通用方法,数列中一阶或二阶线性递推公式，即差分方程也可用特征根法求通项公式。

给出定理：若数列｛an｝满足an+2=pan+1+qan，其特征方程为x2-px-q=0。

若其方程有两个不相等的根（称作特征根）s1、s2，则其中常数c1,c2的值由初始值a1、a2的值确定。

若方程有两个等根，即s1=s2，则an=（c1n+c2）sn，其中，常数c1,c2的值由初始值a1、a2的值确定。

证明：∵an+2=pan+1+qan，设存在实数r，s使an+2-ran+1=s［an+1-ran］，

所以an+2=(s+r)an+1-sran,令p=s+r①，q=-sr②，则 s，r为一元二次方程x2-px+q=0的两个根，

若r≠s，则方程组①②有解为（s1,r1）和（s2,r2），

由③得｛an+1-r1an｝是以a2-r1a1为首项，以s1为公比的等比数列，则其通项公式是

若s1=s2,易得an=（c1n+c2）sn证明（略）。

例 1 已 知 数 列｛an｝ 满 足 a1=1，a2=1，an+2=5，an+1-6an，n∈N+，求数列｛an｝的通项公式。

分析：上述数列的递推公式给出的是连续三项之间的关系，若用特征方程的特征根来解，则较为方便。

解：上述数列的特征方程为：x2=5x-6，那么其方程的根为x1=3，x2=2或x1=2，x2=3。于是，可以设an=c1x1n+c2x2

n（＊），即得an=c12n+c23n，然后将a1=1，a2=1代入（＊）解得从而可得an=2n-3n-1。

例2 已知数列｛an｝满足a1=2，a2=3，an+2=3an+1-an，n∈N+，求数列｛an｝的通项公式an。

分析：上述数列的递推公式给出的是连续三项之间的关系，若用常规方法，就要对递推公式进行变形，使它能成特殊数列，然后利用特殊数列的有关性质来解，虽然可以解出，但显得比较烦琐，因此可以用特征方程的特征根来解较为方便。

解：由题意可知，此数列的递推关系符合其特征方程x2=3x-1，可解得其根为于是可设所求数列的通项公式为然后将a1=2，a2=3代入（＊）可解得因此数列的通项公式为

以上是对于特征方程有两个不同的特征根的情况，求此类通项公式极为方便，若特征方程有重根，即有两个相等的特征根时，又是如何来解呢？这时也可以用上述公式，相对于有两个不等根还要简单一点。

例3 已知数列｛an｝，若a1=3 , a2=5 且an+2=4an+1-4an，求数列｛an｝的通项公式。

分析：此数列可以将递推公式进行变形，使之成为新的特殊数列（等比或等差），然后利用特殊数列的特征来解，但是那要进行多次变形才能求出，若用特征根法解就显得简便一些。

解：设该数列的特征方程为x2=4x+4,可得方程有两个相等的实数根x1=x2=2 ,因此可设数列通项公式为 an=(c1+nc2)2n(＊),然后将n)2n-2。

总之，求数列的通项公式的方法是多种多样的，高中学生应该从给定的已知条件中善于发现其规律，灵活利用不同方法解决有关问题，这对学生打开思路，锻炼学生的思维有很强的促进作用。