掌握技巧，让导数运算飞起来

■江苏省张家港职业教育中心校　韩文美

导数的运算关键是熟记导数基本公式,特别是常见函数的导数公式,掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,掌握简单复合函数的导数公式,以及能够综合运用各种法则求比较复杂的函数的导数等。而在实际的导数运算中,经常可以根据被导函数的特征,通过一定的技巧,更为快速、流畅、简捷地解决导数的运算问题,真正让导数运算飞起来。

1.分式问题——裂项法

分析：常见思维是根据商式利用商的求导法则进行求导,这样操作计算量大而复杂,容易出错。而先根据分式通过裂项化简,再进行求导,就显得简单且容易处理。

解：原函数可变形为f(x)=x3+2sinx

点评:一般地,如果函数的解析式整体为分式,而分子分母为自变量x的多项式,为了减少运算量,可以考虑将解析式裂成多个较为简单的代数式的和差形式后再来求导。

2.根式问题——有理化

分析：常见思维是直接根据两和式中对应的商,利用商的求导来处理。而若观察该关系式,其分母含有根式,先通过分母有理化加以化简,进而再进行求导,就可以大大简化求解过程。

点评:有理化处理求导问题一般有两种形式:一是如果分子中含有根式,则利用分子有理化,二是如果分母含有根式,则利用分母有理化。有理化的目的就是简化过程,使得求导更为简捷方便。

3.积式问题——展开法

设函数f(x)=(2x3-3)(x2-5),则f'(x)等于。

分析：常见思维是利用积的求导法来完成第一次求导,然后对相关项再次求导,此法相对来说计算量大,容易出错。而先将两个整式的积利用多项式的乘法加以展开,再求导,其运算过程将会大大简化。

解：f(x)=(2x3-3)(x2-5)=2x5-10x3-3x2+15。

故f'(x)=(2x5-10x3-3x2+15)'=10x4-30x2-6x。

点评:对于此类积式的求导问题,要注意平方差公式、立方和公式等的应用,在可能的情况下,应尽量少用甚至不用乘积的求导法则,以减少计算量,优化过程。

4.对数式问题——拆分法

分析：如果直接求导,涉及对数的导数、复合函数的导数等,相当复杂,根本无从下手。而若先根据函数特点,利用对数运算法则进行适当拆分处理再进行求解,则另辟蹊径,曙光在望。

点评:对于此类对数式的求导问题,应先根据对数式的结构特点,适当地对函数式中的项进行合理拆分,然后再各个击破,从而达到简化运算,提升效率的目的。

5.三角式问题——恒等变形

分析：如果直接求导,则需要利用积、商的求导法则,三角函数的导数等来处理,计算量非常大,且易出错。而先对三角函数式进行三角恒等变形,再利用公式和运算法则处理,可减少运算量,提高运算速度,减少差错。

所以y'=(sinx)'=cosx。

点评:有的三角函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用三角恒等式将函数先化简,然后进行求导,可以避免使用商的求导法则,减少运算量。

6.规律式问题——构造法

已知函数f(x)=x(x2+1)(x3+2)…(x2018+2017),则f'(0)=。

分析：常见思维是对有一定规律性的函数f(x)进行求导,再代入求解对应的导数值问题,此法计算量比较大,而且容易出错。而根据函数中规律式的性质,通过构造函数f(x)=xg(x),利用求导来转化,可以有效减少计算量,提升解题效益。

解：设g(x)=(x2+1)(x3+2)…(x2018+2017),则g(0)=2017！(n！表示1×2×3×…×n)。

又f(x)=xg(x),两边求导,可得f'(x)=g(x)+xg'(x)。

所以f'(0)=g(0)+0×g'(0)=g(0)=2017！。

点评:本题通过导数的四则运算法则,结合有规律函数式的性质,求导后加以求值。以上方法通过重新组合,巧妙地将多个因式之积看成两个因式之积加以构造,方法巧妙,解决问题快捷有效。

在做导数运算时,我们除应牢记和运用好导数公式外,还要认真观察函数的结构特征,积极地进行联想化归,抓住问题的本质,把解题思路放开,利用更好更快的运算技巧来分析,避免繁杂的运算过程,减少不必要的错误。