夯实基础，关注细节，把握基调
——“定积分”模块备考指南

■中央民族大学附属中学海南陵水分校　侯 军

编者的话：“经典题突破方法”栏目里例、习题选自名校模拟题或三年高考真题。推出本栏目的主要目的是让同学们更好地领悟数学解题思想方法,通过多解多变培养同学们多思多想的好习惯。学会解题反思,无疑是同学们学习的一条捷径,愿同学们不断在反思中进步,在反思中收获！

定积分在新课标高考中一直处于尴尬的地位,一方面,它与大名鼎鼎的微积分一脉相承,知识重要程度可想而知;另一方面,在近几年的新课标高考中,却一直少见它的踪迹,“定积分”俨然成了被遗忘的贵族。事实上,虽然在新课标的高考中少见定积分的显露,但它在各类模拟试题中却频频崭露头角。下面就以模拟题和高考题为例,谈谈定积分到底怎么考,考什么。

一、以模拟试题看高考风向

考点1 考查简单函数的定积分

点评:这道模拟题主要考查定积分的基本运算公式,是一道基础送分题,目的是引起同学们对定积分这一考点的重视,扫描知识盲区。

考点2 考查函数f(x)=的定积分

(河南省郑州市2017年高三年级第三次质量检测)已知等比数列{an},且a6,则a8(a4+2a6+a8)的值为()。

A.π2B.4π2C.8π2D.16π2

解析：设y=16-x2,该式子等价于由定积分的几何意义可知:

所以在等比数列中:

点评:对于奇函数和偶函数有如下性质:

考点3 考查分段函数的定积分

(湖南省湘中名校教研教改联合体2017届高三上学期12月联考)设f(x)=为()。

点评:对分段函数可以分开求各段的积分,最后各段求和。

解析：由题意知f(x)=|sinx|,x∈[0,2π]等价于

点评:事实上,本题还可以运用积分的几何意义结合绝对值函数图像性质先得到|sinx|dx=2sinxdx,这样再运算起来可以更简单一些。

考点4 定积分与二项式定理交汇

在(2x-1)10的二项展开式中x2的系数为(-1)8=180。

(安徽省2017届高三数学第二次模拟考试)若(1-ax)(1+2x)4的展开式中x2项的系数为4,则

解析：由题意可得x2项的系数为×2=4,所以a=。

点评:对本题要注意y=xn与y=lnx这两类函数的导数差别,同时要重视定积分与二项式定理的知识交汇,这样的试题命制方式在各类模拟题中很常见。

二、以高考真题分析考试基调

从已考过定积分的高考真题来看,定积分模块已逐渐形成了“关注基础知识,考查数学能力,多元知识交汇,重视生活应用”的考试基调。为避免重复,已考基础真题不再赘述,这里选择一道与上述模拟题不同风格的高考真题进行补充说明。(2014年江西高考)若f(x)=