解析函数的两个充要条件之间的关系

于倩 沈明瑒 陶元红

摘要：解析函数是复分析的主要研究内容，它在数论、流体力学、电磁学等方面有着广泛的应用。本文通过梳理解析函数的五个充分必要条件，剖析了其中利用二元实变函数的性质判定复变函数解析的充要条件，展示了解析函数与二元实函数之间的密切联系，并强调了解析函数的无穷可微性是这两个充分必要条件之间等价的重要联系。

关键词：解析函数；二元函数；充要条件；无穷可微性

复变函数是实变函数在复数域上的推广，其主要核心是解析函数。解析函数除了拥有与实变函数相同的一些性质以外还具备一些独有的良好性质如无穷可微性，满足方程以及能展成泰勒级数等。复分析主要通过微分、积分和级数的方法研究解析函数。因此为了更好地研究学习解析函数，本文首先梳理判定函数解析的五个充要条件。

一、判定函数解析的五个充要条件

定义1如果复变函数在区域内可微，则称是区域内的解析函数，或称在区域内解析。

若设在区域内有定义的解析函数为 ，则有如下五个判定函数解析的充分必要条件：

充要条件1二元函数在区域内可微，在内满足方程。

充要条件2函数在区域内连续，且对内任一周线只要及其内部全部含于内且。

充要条件3对任意，只要圆含于，则在内能展成的幂级数。

充要条件4二元函数在区域内连续，且在内满足方程。

充要条件5在区域内是的共轭调和函数。

由如上的等价条件，不难看出其中的充要条件1，4，5均是利用二元实函数来描述的，也就是说利用二元实函数满足的性质就完全可以判定复变函数的解析性。由于充要条件是一种等价关系，所以上述五个充要条件是彼此等价的。

但是，充要条件4从形式上显然是要强于充要条件1的，而且在数学分析中，多元实变函数偏导连续仅仅是该函数可微的充分不必要条件，这就让我们不得不好奇它们之间的等价性是有什么性质来保证的。为此，我们不妨将这两个充要条件分别描述成如下两个完整的定理。

定理1函数在区域内解析的充分必要条件是二元实函数在区域内可微且在内满足方程：

，.

定理2函数在区域内解析的充分必要条件是二元实函数在区域内连续，在内满足方程。

二、两个充分必要条件的证明与等价

在给出三个定理的具体证明之前，首先回顾一下解析函数具有着与实变函数完全不同的独有的良好性质：无穷可微性，即解析函数的导数仍为解析函数，从而它的任意阶阶导数仍为解析函数。

定理1的证明：（充分性）由及的可微性有对于内任意一点，

其中及是的高阶无穷小。由方程，设，，

即，其中，

故，，在区域内可导。

（必要性）在區域内解析则对于内任一点有，

（）

令，，，上式为：

，，及可微，且有，

定理2证明：（充分性）二元函数在区域内连续，即在区域内可微。故由定义1可知函数在区域内解析。

（必要性）由解析函数的无穷可微性，必在内连续，即在内连续。若在内任一点可微，则有

又设，，其中

，

，

（1）变为，在区域内解析极限存在，令，有

（2）

，有

（3）

比较（2）和（3）可得，。

关于这两个定理的等价性分析：

定理1定理2：

由于解析函数具有无穷可微性，所以其任意阶导数都存在并且连续，即二元函数的具有无穷阶连续偏导，因此定理1定理2。

定理1定理2：

由数学分析可知二元函数在区域内连续则在区域内可微，故定理2可推导出定理1。

三、结论

虽然定理1和定理2在复分析的范围内是等价的，但是在数学分析的基础上，由于多元实变函数偏导连续是函数可微的充分不必要条件，定理1推导不出定理2。定理2具备的条件更严格。但在复变函数论中，复变函数解析就具有无穷可微性，因此便存在任意阶连续偏导，所以定理1和定理2之间等价。

参考文献：

[1]程晓亮，张旭，苗艳.解析函数的等价条件综述[J]吉林师范大学学报，2017.

[2]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2013.

[3]徐助跃，杨先林，蒋利群.关于解析函数等价定理的几点注记[J]华中师范大学学报，2012.

[4]杨明顺，涂娅娟.解析函数定义的等价性[J]渭南师范学院学报，2012.

[5]王丽颖.解析函数的几种等价条件及其证明[J]白城师范学院学报，2008.