例谈转化思想在数学解题中的应用

焦明日

知识是思想的“躯体”，思想是知识的“灵魂”。 数学思想方法在中高考中占有非常重要的地位。常用的数学思想有1、函数与方程的思想2、数形结合的思想3、分类讨论的思想4、化归与转化的思想5、有限与无限的思想6、特殊与一般的思想7、或然与必然的思想等，其中转化思想是最为实用的一种方式。尽管数学的“转化思想”的形式多种多样，但转化思想的实质就是将要解的题转化为已经解过的题，将“转化思想”应用在数学教学中能够将学生陌生的问题转化为熟悉的问题，将较难的问题转化为学生已经见过的简单的问题。多年的教学实践证明：该种教学方式不仅愉悦、轻松，有效的激发出学生学习的积极性与主动性，亦能锻炼学生的创新思维，有效提高教学质量。

1.正确处理相等与不等之间的转化

通挖掘题设的条件背景，在相等与不等之间架桥铺路，使等式与不等式相互转化，则可达到"柳暗花明"之功效

例1，已知a、b、c均为实数，且满足a2+b2+c2+21≤2a+4b+8c，求a、b、c的值。

在解决这类型题目时，根据a2+b2+c2+21≤2a+4b+8c，移动之后就可以得到（a-1）2+（b-2）2+（c-4）2≤0，进而得到（a-1）2+（b-2）2+ （c-4）2=0 即得

（a-1）2=0，（b-2）2=0，（c-4）2=0，就可以得出a-1=0 ，b-2=0 ，c-4=0，这就可以解得 a=3，b=6，c=4.

2.抓住特殊与一般之间的转化

在解决有着任意条件的问题时，将特殊转化为一般，就能够快速准确的得出正确的答案.

例2 已知（a+1）x4-（3a+3）x3-2ax2+18a=0，对任何实数a均可以得到共同实数解，求该方程的实数解.

在解决这一类型的题目时，考虑到a是任意实数，那么就可以将a取0和-1，0与-1代入（a+1）x4-（3a+3）x3-2ax2+18a=0就可以得到两个方程，即x4-3x3=0与2x2-18=0，此时，可以求解出x=3.

3.巧用已知与未知之间的转化

在数学解题之中，已知量和未知量，常量和变量并不是完全绝对的，而是具备着相对性的特征，在解决某些问题时，将字母看作已知变量，将数字看作未知变量可以达到一个意想不到的成效。

例3： 如果x2+2x-4=0，求x5+2x4-5x3-x2+6x-5的值。

在解题这一类型的题目时，就可以将“转化思想”应用在其中，由已知5=（x+1）2，将5作为未知量，x作为已知量进行分析，问题转化为x5+2x4-（x+1）2x3-x2+[（x+1）2+1]x-（x+1）2=-1.

4.创新多元与一元的转化

在解决某类型的题目时，可以适当选定好主元，避开其他的干扰因素，该种解题方法在多元高次多项式、代数式的求解中较为常用.

例4 分解因式x4+x2+2ax+1-a2.

在解决此类型的问题时，如果直接将x作为主元来分解因式，不仅难度较大，也会浪费大量的时间，此时，就可以转换解题思想，将a作为主元进行分解，x4+x2+2ax+1-a2经过整理与分解之后，可以得到如下的因式：

-a2+2ax+（x4+x2+1）=-[（a2-2ax+x2）-（x4+2x2+1）]=

- [（a-x）2-（x2+1）2]=-（a-x+x2+1）（a-x-x2-1）=（x2+x-a+1）（x2-x+a+1）.

以上是我在教学中应用“转化思想”的一些做法和体会。在应用“转化思想”时，要注意到该种解题方式是具备条件的限制的，在日常教学中，应该加强对学生的训练与指导，遵循先易后难的训练原则，帮助学生养成良好的思维定势，利用转化思维来联系知識与知识之间的结构，通过相互联系的方式不仅可以加强学生对基础知识的记忆与理解，也可以锻炼学生的创新思维能力，提升学生分析问题与解决问题的能力，从而有效提高教学质量。

参考文献：

[1]李继良.例谈初中数学解题中转化思维的有效应用[J].数理化学习（初中版），2013（04）