例谈在数学课堂教学中落实核心素养
——以“定积分在几何中的应用”为例

☉甘肃省秦安县第二中学 罗文军

新课标修订组认为：数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力.高中阶段数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.在数学课堂教学中，落实学生数学核心素养的培养，是每位教师都必须面对的问题.笔者以“定积分在几何中的应用”的教学为依托，谈一下如何在课堂教学中落实核心素养.

一、教学设计意图

定积分在几何中的应用是高中数学教材中的典型内容，涉及数学抽象、类比、数学运算、数形结合等重要的数学思想，是培养学生数学核心素养的好契机.

（一）教材分析和学情分析

定积分在几何中的应用出现在人教A版选修2-2教材第一章导数及其应用的第七节定积分的简单应用.在前面几节学生认识了导数与积分的概念、计算、几何意义的基础上，本节课学习的内容就是掌握用定积分计算图形的面积.

（二）教学任务

本节课的核心教学任务是引导学生根据图形抽象出利用定积分求平面图形面积的几种类型，再利用这些知识来解决相应的题目.

教学目标：（1）应用定积分解决平面图形的面积问题.

（2）能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法，强化数形结合和化归思想的思维意识.

（3）培养学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理素养，培养学生勇于探索和实践的精神.

教学重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值.

教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数.

二、教学过程设计

（一）新课引入

问题1：（1）定积分的几何意义是什么？（2）微积分基本定理的内容是什么？

（2）微积分基本定理：如果（f x）是区间［a，b］上的连续函数，且F（′x）=（fx），那么学生活动：依次提问两名学生.

设计意图：定积分的几何意义和微积分基本定理是本节课学习的基础.

（二）探究新知：利用定积分求平面图形的面积

问题2：观察下列几种平面图形，它们的面积和定积分有什么关系？由此，你能得到求平面图形面积的一般方法吗？

图1

图2

图3

图4

图5

新知1：几种典型的平面图形的面积的计算.

（1）由一条曲线y=f（x）和直线x=a，x=b（a＜b）及y=0围成的平面图形的面积S.

（2）由两条曲线y=f（x）与y=g（x），直线x=a，x=b（a＜b）围成的平面图形的面积S.

学生活动：先后提问5名学生.

设计意图：引导学生从以上五个平面图形中抽象出数学式子，从图形与图形的关系中抽象出数学公式，体现了数学抽象的核心素养.同时，五个图形，对应求平面图形面积的五种常见题型，属于将数学问题建立模型，求解结论，以期最终解决更广泛的问题，体现了数学建模的数学核心素养.

图6

（三）典型例题

例1 计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的图形的面积.

解：略.

师生活动：教师讲解并板书演示.

设计意图：从上述题目所给的图形可以看出，所求平面图形的面积可以转化为两个曲边梯形面积的差，体现了化归与转化思想.学好数学离不开解题，利用前面建立的模型，解决求平面图形面积的具体问题，提升了学生的数学应用能力.在计算题目的过程中，培养了学生的数学运算能力，体现了数学运算的数学核心素养.

问题3：利用定积分求曲线所围成平面图形的面积的步骤有哪些？

新知2：（1）作出示意图（弄清相对位置关系）；（2）求交点坐标（确定积分的上限和下限）；

（3）确定积分变量及被积函数；

（4）列式求解.

设计意图：罗增儒说：“一旦获解，就立即产生感情上的满足，从而导致心理封闭，忽视解题后的再思考，恰好错过了提高的机会，无异于入宝山而空返.”在数学例习题教学中，不能停留在解出题目上，解题后应该多反思，多总结解题方法和解题步骤.以上例1教学之后，对这类题目适时地进行了解题步骤的总结，以期达到“解一题，通一类，会一片”的教学效果.

解：略.

师生活动：教师讲解

问题4：本题还有其他解法吗？如果有，请写出你的解法，并比较一下这些解法.

师生活动：教师讲思路，叫两位学生上黑板板书演示解答过程.

思路一：将所求平面图形的面积看成一个曲边梯形与一个三角形的面积之差.

图7

设计意图：本例运用了三种解法，拓宽了学生的数学视野，体现出了一题多解的数学思想.特别是解法二中类比以x为积分变量的定积分的几何意义，运用了以y为积分变量的定积分的几何意义解题，体现出了类比推理的思想，体现出了逻辑推理的数学核心素养.

（四）课堂练习

练习 求下列曲线所围成的图形的面积：

（1）y=x2，y=2x+3；（2）y=ex，y=e，x=0.

学生活动：两位同学分别板书演示练习（1）、（2）.

设计意图：通过做练习，便于学生掌握利用定积分求曲线所围成平面图形的面积的步骤，训练规范化解题，发现学生学习中存在计算结果错误的问题.

（五）课堂小结

本节课我们主要学习了什么？

学生活动：先个别学生做小结，然后师生一起总结.

本节课主要学习了：

（1）求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤；

（2）思想方法：数形结合和化归与转化的思想.

（六）布置作业（略）

三、教学反思

（1）本例教学中，关注了学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养.本节课的教学立足于核心素养理念指引下，思考如何以知识教学、方法教学为载体，为培养学生的核心素养添砖加瓦.

（2）数学家希尔伯特说：“数学问题是数学的灵魂.”本例教学中设计了多个问题，有利于在课堂教学中激发学生的问题意识，体现出问题驱动教学的原则，同时也注重了数学知识的发生发展过程.

（3）通过课堂练习，发现了学生的数学运算能力欠缺.暴露出部分学生在平时的学习中养成连基本的加减法都用计算器算，而运用计算器代替笔算，不利于学生对算理的理解.这造成了在考试答卷中反映出的问题之一是考生运算能力差，是最头疼的事，有的同学想的很好，但运算过不了关，一道长题一开始就错，而自己没有自查能力，一直错到底，多么可怕呀.高考阅卷规则要求从错误解答考试以后的分值不能超过对应分数的一半，而出错的原因往往很简单，就是诸如一个负号的问题，太可惜.笔者认为数学运算能力的培养不仅仅是高三复习的事，应该贯穿于高中数学教学的始终.在高中数学定积分的教学中，要着力以定积分在几何中的应用为载体，培养学生的运算求解能力.

（4）在例2的教学中，打破了画地为牢，运用了三种不同的解法解答.本例教学中，重视了多解思维的训练，引导学生从多角度分析问题，探究多解的过程，沟通了知识之间的联系，形成了广阔的审题视角，既能从纵向上追溯教材知识体系的认知与梳理，也能在横向上加强知识之间的联系，着力培养了学生思维的灵活性.

参考文献：

1.人民教育出版社，课程教材研究所中学数学课程教材研发中心.普通高中课程标准实验教科书（A版）：数学2-2（选修）（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.罗增儒.数学解题学引论［M］.陕西：陕西师范大学出版社，2006.F