数学公式课教学的三个“秘诀”
——以“余弦的两角差公式”为例

☉江苏省江阴市第二中学 张志刚

数学公式是揭示和反映数学概念本质属性及属性间的联系的一种重要形式，其产生、发展的过程蕴藏着极其丰富的数学思想方法，这些数学思想方法对于学生的数学思维的形成与提升具有重要价值.因此，如何开展好公式课教学是广大一线教师不得不面对的问题.最近，县里举行了教坛新秀课堂教学评比，上课的主题是“余弦的两角差公式”，笔者观摩了8位老师的教学过程，发现存在着不少的问题.下面笔者就结合课例，谈谈数学公式课教学的注意事项.

秘诀一、情境创设应简洁明了

教学情境就是以直观方式再现书本知识所表征的实际事物或者实际事物的相关背景，显然，教学情境解决的是学生认识过程中的形象与抽象、实际与理论、感性与理性、旧知与新知的关系和矛盾，科学合理的情境有助于激发学生的学习动机，明确学习任务，降低数学理解的门槛.

教材情境：某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上，如图1所示，小山高BC约为30米，在地平面上有一点A测得A、C两点间距离约为67米，从点A观测电视发射塔的视角约为45度.求这座电视发射塔的高度.

图1

更一般地说，当α，β是任意角时，能不能用α，β的三角函数值把α+β或α+β的三角函数值表示出来呢？

点评：通过实际问题引发对三角函数求值问题的思考，进而为两角差的余弦公式的引入做好思维铺垫.本情境中的问题贴近学生实际，容易入手，唯一遗憾的是本问题指向的是“tan（45°+α）”而不是“cos（α-β）”，开门见山的效果不理想.

很多教师不满意教材提供的情境，开始另辟蹊径.

情境1：点Q绕点P在半径为1的圆P上运动的同时，点P又绕点O在另一个半径也为1的圆O上运动.O为定点，P、Q两点的初始位置如图2所示，其中OP⊥QP，且P、Q两点以相同的角速度逆时针方向运动，这时点Q的运动如何刻画.

图2

点评：本问题情境虽然比较新颖，但内部运动关系比较复杂，不仅需要花费比较多的时间进行梳理，而且超出了很多学生的理解水平，仅仅为了得到 “cos（α-45°）”如此大费周章，显然是得不偿失.

其实，把教材中的情境改进一下，就可以获得“开门见山”的效果.

某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.小山高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为60米，从A观测电视发射塔的视角（∠CAD）约为45°，∠CAB=15°.求这座电视发射塔的高度.

CD=BD-BC，BD=ABtan60°.

AB=60cos15°，BC=60sin15°.

于是问题归结为求cos15°与sin15°的值，自然引出对公式cos（α-β）的思考.

情境的创设不求多么新颖，而是要力求简洁明了.即教学情境的创设要立足教学目标，提出问题的难易程度要适合全班同学的实际水平，以保证使大多数学生在课堂上都处于思维状态.这样的问题才会成为感知的思维的对象，从而在学生心里造成一种悬而未决但又必须解决的求知状态，实际上也就是使学生产生问题意识.

秘诀二、公式猜想应适可而止

在公式课教学中，不能直接把公式抛给学生，而是要立足认知规律，让学生经历公式的发现与猜想的过程，从而实现对知识的自主构建.

教学片断：余弦的两角差公式的猜想.

问题1：如何求cos15°？cos15°=cos（45°-30°）=cos45°-cos30°成立吗？

显然，猜想不成立，引导学生继续猜想：

cos15°=cos45°+cos30°？

cos15°=sin45°-sin30°？

cos15°=sin45°+sin30°？

发现都不成立.

问题2：以前有没有学过类似的公式？

诱导公式与cos（α-β）比较接近，cos（π-β）=-cosβ，，类比猜想，cos（α-β）展开应该与cosα，cosβ，sinα，sinβ都有关系.

问题3：借助下面表格，完成对cos（α-β）展开式的猜想.

α β α-β cosα cosβ sinα sinβ cos（α-β）120° 30° 90° -11■3 2■3 222 60° 30° 30° 11■3■3■3 22222

根据cos（120°-30°）=cos90°=0，发现cos（α-β）具有以下几种可能组合：

cos（α-β）=cosα+sinβ+cosβ-sinα；

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；

点评：类比诱导公式，初步猜想公式可能的结构；通过特殊值的验证，缩小猜想的范围，最终获得令人满意的结果，上述设计的优点是呈现了一个比较完整的猜想过程.cos（α-β）的公式并不容易猜想，教学实践表明多数学生只能停留在“cos（α-β）=cosα-cosβ”的层次，根本不可能把cos（α-β）与cosα，cosβ，sinα，sinβ的线性组合联系起来.虽然，上述设计中提供了一定的思维铺垫，但教师“强制牵引”的迹象明显.不仅如此，耗费了过多的时间在公式的猜想上，从而影响教学的正常进行.

众所周知，猜想不是最终的目的，而是初步获得公式的一种手段，公式的正确与否还要经过严格的论证.因此，公式的猜想要适可而止，切勿超出学生的实际水平，偏离教学的目标.

秘诀三、公式的证明应揭示本质

公式的推导与证明是公式课的核心.经历证明的过程不仅可以揭示公式的来龙去脉，更为重要的是可以通过这一过程渗透数学思想方法，拓展学生的数学思维.在证明公式中，往往有多种方法可供选择，那么具体采用什么方法呢？还是方法越多越好，这些问题值得深思.

在本课中，教材提供了两种方法.

几何法：引导学生构造如图3中的直角三角形，图中的圆为单位圆，并用割、补的方法得到OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα.

点评：此法构造巧妙，学生很难想到，并且用此法得到的是锐角形式的两角差的余弦公式，推广到任意角比较麻烦.

图3

向量法：观察公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的结构要素，分析其与哪个公式比较相似.

联想到α，β终边与单位圆的交点分别为A（cosα，sinα），B （cosβ，sinβ），同时发现cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的右边与向量数量积公式的坐标表示a·b=x1x2+y1y2相近，进而联想到O—→A·O—→B=cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.于是建立直角坐标系，借助单位圆，利用向量数量积推导余弦的两角差公式自然水到渠成.

点评：体现了向量的工具作用，学生容易想到，但向量冲淡了三角函数原本的味道，并且还需要推广到任意角.

在8位老师的教学中，多数老师抛弃了烦琐的“几何法”，直接采用快捷的“向量法”.还有一位老师“利用两点间距离公式”来获得公式的证明.具体过程如下：

如图4所示，在直角坐标系内作单位圆与角α，β，终边分别与单位圆交于点P、Q，则|PQ|2=（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2.若要得到cos（α-β）的表达式，必须在单位圆中找到与弦PQ等长的弦.以角α的终边OP旋转-β到OQ1处，则射线OQ1即为角α-β的终边，且∠POQ=∠P1OQ1，故△POQ △P1OQ1，所以有|PQ|=|P1Q1|.因为|P1Q1|2=［1-cos（α-β）］2+sin2（α-β）=2-2cos（α-β），所以有（sinα-sinβ）2+（cosα-cosβ）2=2-2cos（α-β），即cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

图4

点评：此法对任意角都适用，但方法比较巧妙，学生想不到.

这就引发了一个思考，在cos（α-β）公式的推导中，究竟采用哪种方法？教材提供了两种方法，是否都有必要采用？或者另辟蹊径，寻找其他更加巧妙的方法？其实，采用什么方法，几种方法并不是思考的重点，我们应该关注哪种方法更能够体现公式的本质属性.那么cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的本质是什么？我们知道，三角函数又称为“圆函数”，很多三角函数公式都是圆性质的体现.比如，诱导公式，它就是圆对称性的三角表示，作为比诱导公式更具一般化的cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，也是圆对称性的体现.因此，回归到三角函数的定义，借助单位圆的对称性，才是cos（α-β）公式证明的正确方向.

如图5所示，P1，P2分别是α，β终边与单位圆的交点.所以α-β的终边与β的终边关称，借助对称性，作出α-β，它的终边与单位圆交于P3.设单位圆与x轴的交点为P0，则P0（1，0），P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），P3（cos（α -β），sin（α -β））.接 下去，利用圆的对称性，构造四个点之间的等量关系.容易发现，代入坐标即可获得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

图5

点评：上述方法巧妙地把教材中的几何法与向量法融合在一起，而且体现了公式的本质属性.

公式的证明方法不求多，也不求巧，而是要从公式的本质属性出发，借助合理的数学模型，采用适度的方法技巧，构建易于学生理解的证明过程.

尽管公式课教学一般遵循“公式的发现——公式的猜想——公式的证明——公式的应用”的设计思路，但要关注每个环节的细节处理，要凸显数学的本质.F