高中数学复习教学的几点建议

☉江苏省常熟市梅李高级中学 马俊华

高中数学复习的质量如何提升？笔者认为我们要通过高三复习提升学生的综合应用数学知识解决问题的能力，其中问题转化的能力最为关键，能够直接影响解决数学问题的效果与质量，数学问题在一步步的转化中归结为熟悉而简单的问题意味着问题的解决，因此，我们的复习课教学要有意识地教给学生如何进行问题的转化，下面就该话题谈几点笔者的思考.

一、回归定义，捋清问题含义

很多数学题目中都会包含“焦点”、“准线”、“渐近线”等专业术语，因此，回归定义并理解专业术语成为解决这部分题目最为重要的首要任务.因此，教师在数学复习教学中应帮助学生对这些隐藏于专业术语背后的紧密关联进行梳理，学生只有在弄清问题的条件下才能继续沿着正确的思维方向进行解题.

例1 一股水流注入一正圆锥形容器时的速率为v，该容器底面水平且顶点向下，已知其底面半径与锥高分别为a和b，则水深为y时，水面上升的速率应该是多少呢？

此题的审题环节首先应弄清楚水面上升的速率与水流入容器的速率这两个关键的概念，回归定义则很快能理解水面上升的速率即为水的深度增加的速率，简单说来也就是水深的变化率.那么，什么又是变化率呢？再次回归定义可知，导数为一个函数的变化率，梳理至此我们便可以将水面上升的速率用数学符号表示为理，水流入容器时的速率也可以表示为.此时再结合题中其他的条件，题意的理解也就不难了.

关键概念的梳理与理解在有些题目中起的作用还要直接，有的甚至能够直接得出答案.

二、变更问题，深化理解规律

波利亚主张解题中应不断变换问题直至最后寻得有用的东西.因此，教师在复习教学中应不断引导学生将陌生问题转化成自己所熟悉或易于理解的问题.

例2 求证：对任意n≥6都会存在一个能够剪成n个全等三角形的凸六边形.

这一问题如果换成下面这种说法就会更加简单：n个全等三角形能拼成一个凸六边形吗？为什么？

例3 证明存在无穷多个素数.

“无穷”这一概念对于刚刚接触的学生来说是较为抽象且不易理解的，因此，此题可以变化为：证明不存在最后一个素数P.这两种等价的叙述往往能令有经验的学生很快联想到反证法.

这道“证明题”甚至还可以变换成“求解题”来解决：给定了素数2，3，5，…，P，跟这些给定的素数都不同的新素数N还存在吗？

由此看来，题目所要表达的意思从不同的角度进行变更也会产生不同的解题方法.

事实上，此题的变化如果本着更加迎合“数学思维”的原则进行改变，还能这样呈现：

例4 任意六人中肯定有三人互不认识或者相互认识的说法成立吗？请证明.

如果将题中的六人用六个点来表示，此题即可变为：应该如何证明6个点的图中必然会有3个点互不相连或两两相连？

例5 甲、乙、丙三人手中都有标记着不超过100的扑克，同一个人手上的扑克所标记的自然数各不相同，如果从甲、乙手上任意抽取一张扑克所得的数字之和与丙手中任意扑克上的数字都不相同，那么，三人手中一共最多有多少张扑克呢？

此题的叙述更换成集合语言也就更加清楚了：设集合{1，2，3，…，100}的三个子集为A、B、C，若∀a∈A，b∈B，均有a+b∉C，则|A|+|B|+|C|的最大值是多少？如此变更使得题中的文字干扰大大减少，解答时的书写也会更加简便而清晰.

三、习题归纳，类化思想方法

教师在复习教学时还应该帮助学生学会将题目归纳成类，学生一旦能够总结某类问题的方法与规律，以此为契机建构单元知识体系也就不难了.一般来说，归类时可以从形式不同但具相似之处的习题或者类型不同但本质可以整合的习题着手进行归纳.

例6 题组：

（2）设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）·an+1an=0（n=1，2，3，…），它的通项公式为______；

（3）已知数列{an}满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）·an-（1n≥2），则{an}的通项an=______.

学生在观察、分析和比较中很快发现了它们虽然在形式上各有不同，但其实质相同.教师如果能在这一方面对学生进行系统训练，学生在长期的训练与积累中必然会不断提升自己的知识迁移能力.

习题的本质规律得到归纳的同时，学生的抽象概括能力也在习题的不断开发与整合中得到了很好的培养.

四、适度开放，增强思维与能力

综合性开放题在高三数学的复习教学中也是必不可少的，学生在问题的积极探索中往往能够培养自己灵活解题的综合能力.

例8 如图1，已知A（0，2）、B（1，0）、C（-1，0）是平面直角坐标系xOy中的三个点，你能构造出一些函数关系式并使

其图像经过A、B、C这三个点吗？或者你觉得可有曲线方程的曲线能够经过这三个点？

练习：

1.运用二次函数、指数函数等已学函数的知识构造常见函数如下：

图1

2.运用曲线方程知识构造常见曲线方程如下：

学生在无穷的解答中不断发挥想象力，常见的函数与曲线方程也在学生不断的交流与探索中得到了全面的复习.

五、强调规范，避免反复出错

解决“会”和“对”之间的矛盾是永远值得数学教师与学生关注的，但仍有不少学生在“会”和“对”之间难以统一，很多学生在会做的题上还是会出现算错、看错、抄错等错误，这些错误应该如何避免呢？教师在日常教学中应对学生的错误进行关注并及时帮助学生矫正，以下这些改正错误时的思想是教师应该着重灌输的：

（1）考试时应做到操作规范、计算错误并保持精力集中.精力集中这一优秀的品质是学生解答数学习题时最为重要的，学生应该在平日的练习中注重养成.

（2）出现错误时不应逃避，应仔细排查原因并及时做好错题的记载.

（3）解题快要结束时应避免由于粗心而导致出现错误.比如：①不能将函数y=1的单调区间（-∞，0），（0，∞）x写成（-∞，0）∪（0，+∞），或“x＜0或x＞0”，或{x|x＜0或x＞0}.②求函数y=（fx）的定义域与值域时，不能仅仅求出x和y的取值范围却不将其写成集合的形式.③区间的开闭这一问题需要警惕.如：函数的定义域为R，求k的取值范围.正确答案是）显然就错了.④解决应用题时结果应带上单位.⑤注意角的范围，正确书写结论.⑥审题应细心，尽量能划关键词.有的填空题或选择题要求的是错误命题的数量，但因为平时做题时关注的大多是正确命题的数量，很多学生就会先入为主地将正确命题的数量填写上去导致此题错误.F