高三数学复习阶段有效作业的教学思考

☉安徽省黄山市休宁中学 甘锦丹

促进学生理解与应用所学知识与方法的作业环节在高三数学复习阶段是至关重要的，每一次作业对于学生是否都能起到很好的效果是广大高三教师都应该考虑的问题，笔者结合圆锥曲线定义与方程这一内容的作业布置和反馈对有效作业的教学进行了详细的思考.

一、教学过程

1.意外错题

笔者为了引导学生在复习圆锥曲线的定义与标准方程时能够更好地回归教材而设计了一道题目，原题是高二年级数学课本上的例题：已知椭是F1、F2，椭圆上有任意一动点P，且∠F1PF2是钝角，则P点横坐标的取值范围怎样？笔者根据这一例题要求学生对题中的条件与结论进行自主变式编题，有学生这样设计：将∠F1PF2变成120°，求△F1PF2的面积S.

学生给出这一变式之时已接近下课，笔者对于学生给出的角的度数略作思考之后就将此题作为课后作业布置给了学生，但笔者课后反思之时又很快发现学生给出的120°对于∠F1PF2是取不到的，基于考验学生的目的，笔者并没有采取任何补救措施.

2.观察学生解题

第二天的作业检查中大部分学生的解题如下：

∠F1PF2=120°⇒|PF1|2+|PF2|2-2|PF1·||PF2|cos120°=4c2=20.

又|PF1|+|PF2|=6

⇒（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1·||PF2（|1+cos120°）=20

⇒36-|PF1·||PF2|=20

⇒|PF1·||PF2|=16

学生的这一解题思路是很难发现这一数据问题的，笔者对于学生的错误没有特别指明，而是引导学生从正反两个方面重新对此题进行了辨析.

又|PF1·|3时等号成立，所以，即当点P是短轴端点时∠F1PF2取最大值，因此，∠F1PF2=120°是取不到的.

生2：算出△F1PF2的面积以后，我也发现有问题，因为显不对了.

教师面对学生错误时候的“不作为”对于学生来讲并不是全无价值的，学生在这样一个经历中也得到了应带着质疑去学习的启示，看似浪费时间的这一错误处理也使学生培养出了深入思考问题的意识.

3.巧妙变题

笔者在学生因为这一变故而产生的思考中顺势又抛出问题：大家还能在这一题目的基础上变换出其他的问题吗？

师：很好，现在大家对于∠F1PF2的范围这一问题不会轻易忽视了，那么，大家能结合学生3的变题再设计出开放式的问题吗？

师：提问方式、思考角度与方式的不同往往会将问题变成完全不一样的题目，还有其他变法吗？

师：太好了，具体问题推广得出了一般的命题或结论.

生6：已知△F1PF2的面积是4，求θ=∠F1PF2的值，

师：这是逆向思维所作出的变式，现在一些高考题也会这样命题.

学生变题远不止这么几条，此处不再一一赘述.

师：大家在第一位同学的变式基础上编出了这么多的好题，这些具有研究价值的题目是我们同学勇于思考、善于思考的结果，我们同学在今天课堂上研究出的这些题目正是我们今天的课后作业，下节课还会对我们同学的解题情况进行交流.

学生的思维在教师的引导中尽情翱翔并展现出了很好的成果，这些题目的出现也说明我们学生对知识的本质以及问题的核心已经有了很好的理解与把握.

4.知识迁移

师：我们在刚才这一题目的讨论中已经对椭圆展开了细致而深入的学习，大家是否能从刚才的这种学习中学会双曲线与抛物线相关问题的类比和探究呢？

师：在椭圆中我们会考虑角度与面积范围来解决此类问题，现在呢？

生7：观察图像并左右无限延伸双曲线，∠F1PF2的范围为（0，π），无最值.

生9：如图1，已知O为抛物线y2=2px（p＞0）的顶点，AB为经过抛物线焦点F的弦，设∠AOB=θ，求角θ的取值范围.

图1

（2）当AB不垂直于x轴时，

引导学生在具体的问题中不断突破原有的思维水平并不断质疑、提问，使学生在追问、辨析中不断开阔思路并掌握自己的聪明才智，这在挖掘学生思维潜力、锻炼学生应用能力上是灌输知识与机械训练远远比不上的.

二、教学感悟

1.根据课堂复习内容布置作业

教师在高三数学复习阶段应根据各阶段教学任务布置难易程度适宜的作业.首先，教师应考虑当天的复习内容并紧紧围绕重点进行作业的布置，同时还可以在作业的难度上适当增加以促进学生对知识的巩固和拓展，那些与课堂复习知识相脱离的作业无法在学生有效掌握作业的时效内产生积极的影响，阶段性的周练卷等练习也应在把握这一阶段复习重点的基础上进行，并适当注意知识的综合与渗透.同时，教师还始终不能忘记高考大纲、通性通法、教材内容等诸多方面的考虑，一味求活求难的作业设计对于全体学生来说也是极不恰当的.其次，教师不能一味依赖教辅资料上的现成题目，而应该在适当的时机多多鼓励学生自己出题，虽然学生自己出题很有可能会“节外生枝”，但学生自己出题的过程能够使学生习惯性地被动应付、就题做题的习惯得到有力的改变，能使学生在积极思维中逐步摆脱孤立、静止的思维弊端，那些只会解答不会提问的被动思维倾向也会逐步向主动思维、发现问题的方向转变.因此，教师在实际教学中应在适当的时机为学生提供变式与出题的机会，不断刺激学生主动思考的积极性并对知识的本质形成更好的理解与应用.

2.控制作业的量

高三数学复习阶段的“题海战”给学生带来的往往是压抑和畏惧，不过，教师在布置作业时也不能从一个极端走向另一个极端，数学学习离开一定的训练量也是很难提高的，那么，教师布置多少题目才是合适的呢？很显然，这并不是用数字能够简单代替和解决的，教师在布置作业时必须依据学情、知识内容等具体情况来决定作业量.首先，教师要明确函数、数列、解析几何等高中数学主干知识的地位并对这些知识进行重点关注，因此，这些知识面的相关作业应适量增加，而那些仅看重概念理解的矩阵、行列式、统计初步等知识就可以减少一定的训练量了.其次，教师在实际教学中应准确把握学生的最近发展区以及学生知识掌握的薄弱环节进行题目的筛选与编写，不断考量问题的难易程度并提升作业的针对性，使作业能够符合学生的实际水平以促进学生对知识的把握.

3.准确把控作业反馈

作业的反馈能让教师和学生自己都能对当前知识掌握的情况形成更好的了解，因此，教师应重视作业检查与反馈，及时将学生练习的结果与学生分享并作出客观的评价和针对性的讲评.不过，需要教师注意的是，作业的反馈也应讲究一定的方法与策略，应采取全批和针对性面批结合的方式将学生学习中存在的共性问题与个性问题一一展露，教会学生如何整理、分析、纠正自己的错题，并在自己的教学记载中及时记录学生的典型错误以备后续教学所需.同时，教师还应敏锐捕捉学生的意外生成并进行科学巧妙的处理，将学生学习中产生的个性与共性问题准确攫取并进行逐个突破，使学生能够在某一知识点、解题方法、题型上得到由点及面的指导并大大提升思维的广度和深度.F