函数思想在高中数学解题中的应用研究

郑州市第七中学 河南郑州 450000

函数是高中数学的基础内容之一，因此，在数学解题的过程中，函数思想有着较为广泛的应用。其中，函数思想在数学解题中的应用主要集中在对函数性质的分析，如奇偶性、单调性等，通过利用函数的这些性质，使题目的难度下降，解题效率也有着一定程度的提高[1]。因此，我们高中生应加强函数思想的培养，从而更好地应对各种类型的数学题目，促进个人数学综合素养的提升。

1 函数思想在不等式解题中的应用

不等式是方程的一种特殊形式，因此，不等式也就具有了普通方程的特性，我们在不等式解题刚才中，也就能够使用到函数思想。并且，利用函数思想解不等式可以实现解题效率的提高，促进不等式解题方法的多元化。

例1不等式x-2+x-5＜a有解，求此时a的取值范围。

解析：题目所给出的不等式虽然简单，但是，由于绝对值的存在，导致我们在实际分析的过程中所要考虑的情况也就更加复杂，然而，如果利用函数思想来进行解题，并结合数形转化的方式，则能够实现解题效率的提高。

图1

2 函数思想在数列解题中的应用

在高中诸多知识点的考察过程中，数列的解题思路更加多元化，并且，由于数列相关题目的变式较多，因此，我们在选择解题方法时应当更加谨慎，否则，将导致实际解题过程的难度增加。其中，函数思想是数列解题过程中常用的一种思想，在求数列通项公式等计算中可以实现解题效率的提高。

例2数列an是公差为d的等差数列，其中，数列an的前n项和为Sn，同时存在一个公比为q的等比数列bn，且在数列an与bn中存在以下关系：a1=b1b2=2其中，公差d与公比q相等，且S10=100。求数列an、bn的通项公式。

解析：由于已经明确了数列an、bn的前两项关系，且等差数列与等比数列的公差d与等比数列的公比q相等，利用S10=100即可求出数列an、bn的通项公式。

解：根据题目中的已知条件，可以得到以下方程组：10a1+45d=100a1d=2

由此可以得出以下两个答案：a1=1d=2或a1=9d=29

根据等差数列与等比数列的通项公式定义可知，等差数列an与等比数列bn的通项公式对应如下：an=2n-1bn=2n-1或an=192n+79bn=929n-1

3 角函数在数学解题中的应用

对于一些较为特殊的题目来说，常规函数思想的适用性较低，在某些情况下，需要研究其中的角度关系，并以此作为解题的突破口。

例3如果方程loga（x-ka）=loga（x2-a2）在定义域范围内有解，且a＞0，a≠1，如此，求满足方程有解的k的值域。

解析：对于此类题目，常规方法是将原等式进行转化，从而对其中k的取值范围进行研究。然而，对于大多数高中生来说，这种解题方法过于复杂，且在对k的取值范围讨论时容易存在着疏漏。利用函数思想中的角函数辅助解题，能够使解题效率大大提高，且准确度也能够得到保证[2]。

解：对原方程变形后可得：x-ka2=x2-a2，x＞a

由此可以得出k=xa-xa2-1。

设x=acosα，则k=cosα-cosα，其中-π/2＜α＜0且0＜α＜π/2

由α的取值范围不同，可以得到不同的k值，具体如下：

当-π/2＜α＜0时，k＜-1；

当0＜α＜π/2时，0＜k＜1。

4 结语

由以上几个例题可以看出，函数思想在高中数学中的应用范围较为广泛，且应用方式也较为灵活，通过分析题目中已知条件的关系，将题目的求解过程转化为函数问题，从而可使解题难度大大降低。然而，这里需要注意的是，函数思想的应用要明确函数的性质，如奇偶性、单调性等相关的约束条件，否则，将导致最终答案与真实值之间存在着偏差[3]。