界面接触效应对不同尺度半导体制冷器性能的影响

桑策，姚雨，申利梅，陈焕新*，孙淼

（1-华中科技大学中欧清洁与可再生能源学院，湖北武汉 430074；2-华中科技大学能源与动力工程学院，湖北武汉 430074）

0 引言

半导体制冷器（又称热电制冷器）是一种利用帕尔帖效应的制冷器件，作为固态主动式制冷方式，具有无运动部件、无噪音、易于集成等特性使得其在热设计领域中备受关注[1-2]。目前广泛应用于国防、工作、医疗、科研及日常生活等领域[3-4]。半导体制冷器按尺寸可分为常规型和薄膜型。常规型热电制冷器多用于车载/酒柜冰箱、饮水机、恒温冷藏箱等小型制冷设备中。薄膜型热电制冷器多用于高热流密度芯片的辅助散热，以及对某个微小区域的局部制冷等[5]。但无论是毫米级的常规型器件，还是微米级的薄膜型器件，其内部金属片与热电臂的接触面上都存在接触热阻与接触电阻（合称界面接触效应）。且常规型和薄膜型热电制冷器的接触热阻与接触电阻对该器件性能的影响不同。因此，研究界面接触效应对不同尺度半导体制冷器性能的影响十分必要。

目前，国内外研究者主要研究界面接触效应对半导体发电器和常规型半导体制冷器性能的影响，如李茂德等[6]针对小型半导体温差发电器中接触电阻和接触热阻的影响进行了分析研究，证明了界面接触效应降低了半导体温差发电器的输出功率和热电转换效率，其影响不可忽视。蔡永华等[7]和张宁等[8]针对传统的半导体温差发电器件效率模型,提出了考虑接触效应的改进模型，得出了考虑接触效应后器件效率随负载的变化趋势。GAO等[9-10]着重研究了常规半导体制冷器的接触电阻和接触热阻的改进模型，得到了接触电阻和接触热阻对制冷效率和制冷量的影响。XUAN等[11-12]在GAO的模型基础上提出了2个新的简化模型，进一步研究了接触电阻和接触热阻对常规半导体制冷器性能的影响。

综上所述，针对薄膜半导体制冷器中的界面接触效应研究较少，本文建立了半导体制冷器的实际数学模型,对比分析了接触电阻、接触热阻对不同尺度半导体制冷器的单位面积制冷量、制冷效率（Coefficient of Performance）的影响，为设计不同尺度半导体制冷器时优化其界面接触效应提供了理论基础和优化建议。

1 数学模型

为了研究界面接触效应对半导体制冷器性能的影响，本文分别建立了不考虑接触热阻和接触电阻的理想模型，以及考虑接触热阻和接触电阻的实际模型。为了推导方便，两种模型均做出以下简化：

1）热电臂中的传热为一维稳态导热；

2）热电臂侧面绝热，与外界无热交换；

3）忽略汤姆逊效应的影响；

4）假定两热电臂的电阻率、热导率都不随温度变化。

1.1 理想模型

不考虑热电臂与冷、热端基板之间的接触热阻和接触电阻时，半导体制冷器的理想模型示意图如图1所示。

理想的半导体制冷器的数学模型为

式中：

Qc——半导体制冷器的冷端制冷量，W；

Tc——半导体制冷器的冷端温度，K；

Th——半导体制冷器的热端温度，K；

ƞ——半导体制冷器的制冷效率；

P——半导体制冷器的输入功率，W；

α——热电臂的赛贝克系数，V/K；

K——热电臂材料的热导，W/K；

R——P型和N型热电臂的总电阻，Ω；

I——工作电流，A。

对式(3)的ƞ求极值，可得到最大的制冷效率：

其中，TM为冷热端平均温度，Z为热电材料的优值系数，它们的表达式分别为：

式中：

ρ——热电材料的电阻率，Ω⋅m；

λ——热电材料的热导率，W/(m⋅K)。

图1 理想的半导体制冷器示意图

1.2 实际模型

考虑热电臂与冷、热端基板之间的接触热阻和接触电阻时，半导体制冷器的实际模型示意图如图2所示。与理想模型图1的区别是，图2的热电臂上下分别与2块导热却不导电的陶瓷基板相连。

1.2.1 仅考虑接触电阻的模型

考虑接触电阻后，热电臂与金属片之间的接触电阻Rc为：

P型和N型热电臂的总电阻R为：

式中：

l——热电臂长度，m；

A——热电臂截面面积，m2；

ρc——热电臂与金属片间的接触电阻率，Ω⋅m2。

n为接触电阻比，表达式为：

热电材料的优值系数ZD和制冷器的制冷效率ƞ1为：

图2 实际的半导体制冷器示意图

1.2.2 仅考虑接触热阻的模型

对一给定的输入功率P，不考虑接触电阻与接触热阻的制冷量Q和考虑接触热阻的制冷量Q*分别为：

式中，ΔTmax是制冷器无外加热负载(Qc=0)情况下取得的最大温差；ΔT0和 ΔT*分别是对应制冷量Q和Q*时的温差，可以得到ΔT*=ΔT0+ΔTc1+ΔTc2（ΔTc1和ΔTc2分别为冷端和热端接触层的温差降）。

因此实际模型的制冷效率ƞ2为：

式中，Kc1和Kc2分别为冷、热端热导。假设两接触层热学性质相同，即Kc1≈Kc2=λcAc/lc，2A≈Ac(Ac和lc是接触层的截面面积和厚度，λc是接触层热导率)。r为接触热阻比，表达式为：

因此，式(14)可以化简为式(16)：

1.2.3 综合考虑接触热阻和接触电阻的模型

用仅考虑接触电阻的式(11)中的ƞ1替换式(16)中的ƞ0，可以得到考虑接触电阻和接触热阻两项影响后的实际制冷效率ƞ为：

同样可以得到单位面积的制冷量q为：

2 结果分析

2.1 界面接触效应对常规型热电制冷器制冷性能的影响

计算采用文献[13]中的常规型热电制冷器的物性参数，设定冷热端温度分别为275 K和383 K、Z=0.0028 K-1、接触层厚度为 0.7 mm、接触热阻比0.2和接触电阻比0.1 mm。

在不同接触电阻下，热电制冷器的COP随热电臂尺寸变化的曲线如图3(a)所示；热电制冷器的单位面积制冷量随热电臂尺寸变化的曲线如图3(b)所示。在不同接触热阻下，热电制冷器的COP随热电臂尺寸变化的曲线如图4(a)所示；热电制冷器的单位面积制冷量随热电臂尺寸变化的曲线如图4(b)所示。图3和图4中的理想情况曲线均表示无界面接触效应。

从图3(a)和图4(a)中可以看出：1）考虑界面接触效应时，COP随热电臂的长度增大而增大，但存在一个临界长度，当热电臂长超过此临界长度后，COP随热电臂长度增大而趋于稳定。而且接触热阻比越小，该临界长度也越小；2）热电臂足够长时的COP最接近理想状态的COP。表明热电臂长度越长，界面接触效应对COP的影响越小。

通过图3(b)和图4(b)中的曲线可以看出：1）考虑界面接触效应时，随着热电臂长度增大，单位面积制冷量先增大后减小最后不变；接触热阻比一定时，在l=0.1 mm处出现明显峰值；接触电阻比一定时，在l＜0.1 mm处出现峰值；接触热阻比对单位面积制冷量的影响比接触电阻比的影响更大；2）理想情况下,热电臂长度越接近 0,单位面积制冷量越趋于无穷大,这显然与实际不符；这进一步说明考虑接触效应对小型、微型半导体制冷器性能的影响尤为重要。

图3 热电制冷器性能随热电臂尺寸变化的曲线

图4 热电制冷器性能随热电臂尺寸变化的曲线

2.2 界面接触效应对薄膜型热电制冷器制冷性能的影响

随着平面光电器件、微机电系统（Micro-Electro-mechanical System，MEMS）和微光机电系统（Micro-opto-electro-Mechanical Systems，MOEMS）的出现,我们迫切需求体积更小、冷却热流密度更大、易于集成的微型热电制冷器件[14]。

薄膜型热电制冷器件与目前已获得广泛应用的热电器件相比,其特征尺寸（组成热电器件的基本单元热电臂长）更小。薄膜型热电器件的功耗比较小,热电转换效率（COP）问题已不再突出，因此只分析热电臂尺寸对功率密度（单位面积制冷量）的影响。此外，被冷却器件的工作温度不同，热电制冷器的冷端温度对单位面积制冷量的影响分析十分必要。

2.2.1 热电臂尺寸对单位面积制冷量的影响

为了研究界面接触效应对薄膜热电器件性能的影响，修改计算所采用材料的物性数据，设定薄膜热电制冷器接触层的性能参数，同时采用文献[15]中薄膜热电制冷器的数据，设定冷热端温度分别为295 K 和 300 K，设定Z=0.007 K-1、接触层厚度lc=1.2l、最大温差为40 K。

图5分别为不同接触电阻和接触热阻下，热电器件单位面积制冷量随热电臂尺寸变化的曲线。图中曲线表明，薄膜热电制冷器件其单位面积制冷量远远大于普通热电器件，且与特征尺寸成反比；考虑接触热阻使薄膜器件的单位面积制冷量相比理想情况降低100 W/cm2左右，远高于常规型热电器件的降低量。

热电材料的低维化有利于大幅提高其能量转换效率（ZT值），同时低维热电材料被用于制作热电薄膜器件。热电器件的单位面积制冷量与热电臂的特征尺寸成反比，薄膜热电器件的热电臂长度极小，但同时接触效应的影响将随着热电臂长度的减小而相对增大，从而导致制冷器效率的下降，接触效应影响的绝对数值会增大，因此，当热电器件的热电臂尺寸很短时，必须考虑接触效应，才能对器件的输出特性给出正确的估算。

图5 热电制冷器单位面积制冷量随热电臂尺寸变化的曲线

2.2.2 冷端温度对单位面积制冷量的影响

控制不同冷端温度下，得到冷端温度对热电制冷器单位面积制冷量的影响如图6所示。当冷端温度逐渐升高时，单位面积制冷量会不断增大；说明热电薄膜器件的温差越小，其单位面积制冷量越大，这与常规型热电模块的变化一致。固定冷端温度时，随着热电臂尺寸变短，单位面积制冷量会增大。

2.3 接触电阻和接触热阻的对比分析

不同界面接触效应情况对热电制冷器的COP和单位面积制冷量的影响如图7所示。取常规型热电制冷器参数绘制曲线，得到仅有接触热阻（r=0.2；n=0）、仅有接触电阻（r=0；n=0.1 mm）、无接触效应（r=0；n=0）、既有接触热阻又有接触电阻（r=0.2；n=0.1 mm）。从图中看出仅存在接触热阻的曲线更加接近实际曲线，仅存在接触电阻的曲线则更加接近理想曲线，说明接触热阻对器件性能影响更大，接触电阻的影响则较小。

图6 单位面积制冷量随冷端温度变化的曲线

图7 不同界面接触效应下，热电制冷器制冷性能随热电臂尺寸变化的曲线

接触电阻相当于增大了热电器件的内部热载，同时增加了功耗，使冷端的冷量减少和热端的热量增加。接触热阻则会引起热电器件中的接触面和接触层上的热损失，造成冷端负载增加，使器件的性能下降。随着热电臂尺寸的逐渐减小，接触电阻和接触热阻的影响开始增大，由于接触电阻相对于接触热阻对热电转换效率COP和单位面积制冷量的影响较小，此时减小接触热阻比减小接触电阻对于提高制冷量更有用。因此，优化并减小热电器件的接触热阻更有必要。

3 结论

本文通过建立半导体制冷器的实际数学模型,分析了接触电阻、接触热阻对不同尺度半导体制冷器的单位面积制冷量及热电转换效率COP的影响，得出了以下结论：

1）界面接触效应对薄膜型半导体制冷器件性能的影响远大于常规型半导体制冷器件；

2）以单位面积制冷量更大为目标时，半导体制冷器的热电臂应越短；以热电转换效率COP更大为目标时，半导体制冷器的热电臂应越长；在制造半导体制冷器时，需根据实际需求选择合适的热电臂长度；

3）当冷端温度不固定，随着冷热端温差减小，各尺寸热电制冷器单位面积制冷量会不断增大；当冷端温度固定时，随着热电臂尺寸变短，单位面积制冷量会增大；

4）接触热阻对半导体制冷器性能的影响比接触电阻大很多；因此在提高半导体制冷器的性能时，需要特别考虑减少接触热阻。

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