在数学教学中合理运用《几何画板》

岳明岩

摘要：在21世纪，以计算机多媒体和互联网为代表的信息技术正迅速而深刻地改变着人们的工作方式、交往方式、生活方式和思维方式，不少专家指出，信息技术必将改变传统的教学内容、教学方式、教学模式与教学观念。在数学教学中，从课堂教学到课外辅导，从组织练习到成绩的统计评估，从教师备课、同行交流到学生课外活动的组织，信息技术在推动数学教学改革方面都有着巨大潜力。而《几何画板》为现代教育理念在课堂教学中的实施提供一种有效的辅助工具。通过操作《几何画板》来做数学、学数学、开展数学实验，调动学生积极参与，加深对初中数学概念的深层次理解，拓宽数学能力的培养途径。

义务阶段的数学核心素养：运算求解、推理论证、空间想象、数学表达、数据处理、数学建模。

关键词：几何画板、数学教学、运用、核心素养

《几何画板》就是一个能让老师和学生操作的优秀学科软件，在动态的操作过程中，给学生的比较和抽象活动创造了一种活动的空间和条件。学生能在活动中理解和掌握抽象的概念。这样学生获得的才是真正的数学经验，而不是数学结论。这几年中我一直运用《几何画板》来上课，发现效果非常好，学生上数学课的兴趣高了很多。以下是我在教学中对《几何画板》的几点体会

一、运用《几何画板》帮助学生理解函数与图像的关系，画抽象为具体

在利用《几何画板》探索图形性质的过程中，数形结合使人一目了然，发现规律是那样的自然流畅。学生们能作为课堂教学的真正主体参与学习过程，参与教学实践而从内心领悟到数学的真谛。这正是《几何画板》在数学教学中的魅力所在。在函数图象讲解中一直是初中数学教学中传统的难点。

学生学过函数的图象之后多数并不理解函数与图象的对应关系，甚至有听天书的感觉。运用《几何画板》可以通过学生们直接的感性认识和直觉思维，经过我的引导，升华到理性的认识，达到加深学生的认知能力。

实例1：在教学“二次函数的图象及其性质”时，我先用《几何画板》制作好二次函数“ ”的课件，在教学中通过分别拖动改变a、b、c三个参数的值，观察二次函数的图象的变化情况。学生从中可以直接概括出二次函数图象中：开口方向与参数a的关系；对称轴与参数a、b的关系；顶点与参数a、b、c之间的关系；以及函数的图象所经过的象限与参数a、b、c之间的关系。这样就不必由老師进行讲解，而学生对此的映象却要更加深刻。

实例2：研究函数图象的性质，特别是增减性，是教学中的难点，有了《几何画板》，我们就来看看它的作用。在坐标系内，任作一条直线，很容易得到它的解析式，我们拖动直线，就可以看到它的k和b在不断变化，学生们自己操作，仔细研究，就可以总结出，k、b大小与图象所经过的象限的关系。如下图，如果，拖动直线上的点A或B，则它的横坐标和纵坐标都在同时变化，当k>0和k<0，极易掌握它们的增减性。

实例3：在研究二次函数图象的增减性时，我们拖动抛物线上点A，可以很形象地看到，y随着x的增大，一会儿增大，一会儿减小。问及同学们它的分界线在那里，再次研究后都能回答是抛物线的对称轴。

实例4：在研究反比例函数的图像双曲线的特点，学生也很难把握什么叫“与坐标轴无限接近，但永远不相交”？为了帮助学生理解双曲线的特点，可以利用《几何画板》来形象地展示这一特点。绘制函数中输入 绘制图像，鼠标拖动屏幕上下或左右移随着x的无限接近0或无限变大，图像也无限的接近y轴或x轴，但就是不相交。

通过这样的演示，学生对双曲线的特点有了更加直观的感受和深刻的印象，这正好也让学生体会了：“世界上最遥远的距离不是生离死别，而是双曲线与坐标轴的那个缝隙”。运用《几何画板》帮助学生理解函数与图像的关系，提升学生的空间想象、数据处理、数学建模的数学核心素养。

二、运用《几何画板》动态展示知识的发生、发展过程，画抽象为具体

（一）用《几何画板》揭示变化的图形中不变的几何规律

在进行圆一章中的点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系的教学时，要想把它们归纳清楚要费尽心机，其效果也是很差。学生总是孤立地记忆，更不能灵活运用。但如果教学时，运用《几何画板》，则充分提示了变化的图形中不变的几何规律。

利用《几何画板》，进行如下操作：直线与圆位置中拖动点C，直线L就跟着一起动，学生会很直观的感受直线与圆位置关系的关键；圆与圆位置关系中拖动圆O2就可以演示圆与圆的五种关系，学生对这五种关系的公式和图形总是混掉，通过《几何画板》的演示很形象记忆深刻。

（二）运用《几何画板》进行题组教学，优化解题过程

求证任意四边形的中点四边形是平行四边形的例题。如下图：

1.在《几何画板》里，拖动点四边形的顶点A，改变四边形的形状和大小，从图形上面的度量值都可以得到，四边形的两组对边都相等。从而可以得到任意四边形的中点四边形是平行四边形。

2.在上图中，改变AC和BD的长度，使AC=BD，则可得到对角线相等的中点四边形是菱形

3.在任意四边形的中点四边形的图形中，改变AC和BD的位置关系，使AC⊥BD，则可得到对角线相等的中点四边形是矩形。

4.如果在上图中，保持AC和BD的垂直关系，并使AC=BD，则可得到，对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形。

先前教学时，我们也在黑板上画出这样几个图，既费时费劲，又只是静态地进行研究，其效果远远不如动态的黑板——《几何画板》这样形象、直观。而且通过演示，学生很快知道中点四边形与原四边形的对角线是否互相平分无关，只与原四边形对角线的位置关系和数量关系有关。

（三）运用《几何画板》，展示运动变化的规律

几何图形的基本运动：平移、旋转、翻折，基本运动运用到复杂的几何证明中一直是个难点，学生遇到了就手足无措，在讲解这类题目时，巧妙的运用《几何画板》，会达到事半功倍的效果。如下面的课堂实例“手拉手等边三角形”。题目时两个等边三角形公用一个顶点，其中一个绕着这个公共顶点旋转，在旋转中有一对三角形一直保持全等不变。在旋转中两个三角形处于一直线上并且在直线的同侧，我们又可以证明出特殊的结论。

例题：如图，在等边ΔABC的BC边上任取一点D，以CD为边向外作等边ΔCDE，联接AD和BE，试说明BE=AD的理由。

解：∵ΔABC是等边三角形

∴AC=BC， ∠ACB=60°

∵ΔCDE是等边三角形

∴CD=CE， ∠DCE=60°

∴∠ACD=∠BCE

∴ΔACD?ΔBCE（S.A.S）

∴BE=AD

在例题中，如果把ΔCDE绕点C逆时针旋转，旋转后形成的图形（1）和（2）中，例题的结论（AD=BE）还成立吗？说明理由。

在例题中，如果把ΔCDE绕点C逆时针旋转形成图形（3），使点B，C，D三点共线，问：（1）ΔACD与ΔBCE还全等吗？说明理由。

（2）CM与CN相等吗？说明理由。△CMN是什么三角形？

（3）MN与BC平行吗？说明理由。

解：∵ΔABC是等边三角形（已知）

∴AC=BC， ∠1=60°

∵ΔCDE是等边三角形（已知）

∴CD=CE， ∠3=60°

通过这一系列的变式练习，把得到的经验进行迁移，手拉手等腰三角形有上诉的全等三角形的存在吗？手拉手正方形也有上诉的全等三角形的存在吗？学生就可以运用《几何画板》进行画图分析得到令自己兴奋不已的结论，学生可以通过拖动图形、观察图形变化、猜测和验证结论，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识。

《幾何画板》在这里运用的如鱼得水，形象生动地让学生理解题目，易如反掌的带着学生跨过难点。学生从中体会到了动中有静（不变），通过学习新的学习方法进行知识的迁移，手拉手正方形、手拉手顶角相等的等腰三角形，提出思考问题“还有什么手拉手的图形也具备这样的性质”，最后达到知识的升华。运用《几何画板》动态展示知识的发生、发展过程，提升学生的推理论证、空间想象、数学表达、数据处理、数学建模的数学核心素养。

三、运用《几何画板》进行数学实验，让学生自主“研究数学”，提高学生数学核心素养

《几何画板》是一种数学教学的简单工具，我几乎每节课都用《几何画板》开展教学活动，学生也就慢慢的会使用《几何画板》的基本功能，上函数、几何课时，学生自己动手运用《几何画板》画图分析产生了意想不到的好效果，运用《几何画板》可以教师演示，也可以让学生通过实验，小组探索新知。教师通过引导，可以给学生创造一个“操作”几何图形的环境，学生可以通过拖动图形、观察图形变化、猜测和验证结论，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的数学经验背景，从而更有助于学生对数学的学习和理解，同时《几何画板》有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性，充分体现了现在的数学教学中是以学生为主体，教师是教学的引导者、组织者，运用《几何画板》还培养学生计算，演绎等具有根本意义的严格推理的能力，也锻炼学生尝试归纳、假设、检验，寻找相似性等非形式推理的能力。这种数学实验，对学生主体意识的形成，主动参与教学实践本领的提高，自行获取数学知识的能力培养，都将发挥作用。通过数学解题活动所能检测的“能力”，本质上是指学生在基于各类情境的问题解决过程中合理、准确、灵活地运用各种所学的数学概念原理、方法技能、定理推论和基本思想等的表现。在数学教学中合理运用《几何画板》提升学生的推理论证、空间想象、数学表达、数据处理、数学建模的数学核心素养。

总之，在当前新课改教学中，课件已经成为课堂教学中不可或缺的工具，数学课上恰当地选用《几何画板》，会起到“动一子而全盘皆活”的作用。若发挥其最大的功效，就可以减轻学生的过重负担，从而提高课堂教学效率，进一步提高了学生数学核心素养。

[参考文献]

[1]《核心素养的“核心”在哪里》 钟启泉 中国教育报 2016、2.

[2]《几何画板实用范例教程》 陶维林 清华大学出版社.

[3]《几何画板在数学教学中应用》忻重义 王福水 华东师范大学出版社.

[4]《新课标理念下的中学数学课堂教学》 汤文卿 中学数学教育.