对均值不等式的进一步探讨

杨楚怡 管明峰

摘 要：本文通过讨论均值不等式的一般形式，对调和平均数、几何平均数和算术平均数之间的关系及其应用条件、注意事项进行了分析，以解决实际生活、生产中对这几种平均数的误用问题，具有一定意义。

关键词：均值不等式；调和平均数；几何平均数；算术平均数

中图分类号：O212文献标识码：A

高中阶段学习的均值不等式非常重要，它在高考数学命题中出现的频率也特别高，故高中数学老师在讲解这个知识点的时候都会花费大量力气。但是，在高中阶段学习均值不等式更多地是通过变换技巧来应付考试。因此，对于均值不等式的学习，还需要我们拓展研究它的一些具体应用。高中阶段学习的均值不等式的形式为

2 算术平均数的选择

在社会经济生活、生产中，当总体单位总量一定时，且总体标志值总量是由总体中各单位标志值求和而得，则计算平均指标使用算术平均数。

例1：设某工厂有4个车间生产同一型号产品，八月份的产量分别为80台、76台、68台和84台，问八月份这四个车间的平均产量是多少？

分析：总体单位总量（车间总数）为4个，各单位标志值（每车间生产台数）分别为80台、76台、68台和84台，总体标志值总量（总台数）为308台，故八月份这四个车间的平均产量为：

平均产量=3084=77（台）

3 几何平均数的选择

在社会经济生活、生产中，当讨论的总比率或总速度是由各项变量值的连乘积获得的时候，要计算对应的平均速率或平均速度，应使用几何平均数来求。

例2：某瓷器生产厂在备好料泥以后，要依次经过成型车间、刻绘车间、施釉车间和烧制车间的处理，最终才能生产出精美的瓷器，某一月份这四个车间的生产合格率分别为98%、95%、99%和90%，求这一月份这四个车间的平均合格率？

分析：由于这四个车间生产是四道工序，是对同一对象进行处理，前一车间合格品是后一车间加工对象，四个车间的总合格率是每个车间合格率的连乘积。在这里，要使用几何平均数处理平均合格率问题，也即：

除了例2中讨论的情况外，一般在描述事物前后单位时间内的连续增长变化的环比情况时，处理平均数问题也要使用几何平均数。比如，经济逐年环比增长、人口逐年环比增长、复利计息问题[2]等。

4 调和平均数的选择

从实际应用的角度看，调和平均数可由算术平均数变形得到，是由掌握不同资料对同一问题以两种形式加以解决。故实际应用中，能使用调和平均数的地方，也常可用算术平均数来解决。

例3：有三种款式的书签标价分别为0.1元/张、0.2元/张和0.5元/张，小明买下三款书签分别花费1元钱，求小明买的书签每张平均价格是多少？

分析：直接使用调和平均数来求，可得

对于调和平均数和算术平均数的关系问题，也存在不同看法，如有的学者认为从平均数的数理意义上理解，调和平均数和算术平均数是两种不同的平均数，不存在变形的问题[3]，从数理意义上理解也有其道理，也是我们应该了解的。

5 加权平均数

在平均数应用中，经常还要考虑总体中不同个体的作用或贡献度的区别，也就是要考虑权重因素，最常见的就是在跳水比赛中每个运动员每一跳得到的平均成績都是使用了加权平均数的处理方式。

加权平均数中的“权数”的表现形式多样，当权数发生变化时，对应得到的结果可能会大相径庭，这一特殊性，越来越受到人们的重视，在实践中应用越来越广泛，使得分析问题更公正客观。

以上主要通过对高中阶段学习的均值不等式进行进一步探讨，给出一般的均值不等式的形式。对不等式中的平均数概念进行了讨论，更好的明确了各平均数应用的条件，及注意的事项，为实际生产中正确使用平均数提供了较清晰的方法，防止张冠李戴，具有一定意义。

参考文献：

[1]舒晓慧，刘建平.关于几种平均数关系的构造法证明及推广[J].怀化学院学报，2004，23（2）：20-21.

[2]朱艳，季桂林.浅谈统计中算术平均数与几何平均数的正确应用[J].济南职业学院学报，2012，6：54-55.

[3]冯胜群.正确认识平均数、平均指标、集中趋势的涵义和关系[J].江苏统计应用研究，2001，9：13-16.

作者简介：杨楚怡（2002-），女，安徽蚌埠人，安徽省固镇县第一中学高三二班学生；管明峰（1982-），男，安徽蚌埠人，理学学士，安徽省固镇县第一中学一级教师。