解信赖域子问题的改进的平均欧拉切线法

贾新辉，王希云

(太原科技大学应用科学学院，太原030024)

其中，gk=!f(xk)，Bk∈Rn×n是目标函数在当前迭代点x(k)的海塞矩阵!2f(xk)的近似，Δk是信赖域半径，s∈Rn是待求变量.Δk取不同的值时，信赖域子问题(1)的解s*构成了空间最优曲线［1］。

对于海塞矩阵正定的情形，运用折线法求解子问题(1)较为普遍.常用的折线法有单折线法［2］、双折线法［3］、切线单折线法［4］、混合折线法［5-6］、不定折线法［7-8］、双割线折线法［9］等.2014 年王希云、李亮根据信赖域子问题解的最优曲线的参数方程建立了微分方程模型［10］，并针对该模型提出一

讨论如下二次模型的信赖域子问题的求解:种求解子问题(1)的平均欧拉切线算法［11］。

平均欧拉切线算法的思想是在微分方程模型［10］的基础上，采用梯形公式［12］构造一条折线，来近似代替最优曲线求解子问题.数值结果表明该算法比切线单折线法更有效，但缺点是步长形式复杂，计算时间相对较长，且文［11］中定理5.1的条件可进一步改善。

文［11］运用定理5.1的假设条件可证明构造的折线满足引理 6.4.1［13］，但前提又要利用引理5.1的结论2［11］.为了证明该结论，构造了较为繁琐的步长，导致迭代次数多，计算时间较长.本文为简化步长形式，将文［11］的假设条件修正为:

并在该条件下证明了算法的适定性，也不需利用结论2［11］.且步长可简化为:

其中n=0，1，2，…，ω为限制每次迭代所能达到的最大步长值.从而提出了求解子问题(1)的改进的平均欧拉切线法.文章最后将本文算法和平均欧拉切线法进行了比较，数值实验表明新算法较平均欧拉切线法具有迭代次数少、运算时间短等优点。……