大数据与人工智能背景下离散数学教学探讨

刘建刚，赵军产

(湖南商学院数学与统计学院，湖南 长沙 410205)

0 引言

“大数据”研究机构Gartner指出：大数据（Big Data）是指无法在一定时间范围内用常规软件工具进行捕捉、管理和处理的数据集合，是需要新处理模式才能具有更强的决策力、洞察发现力和流程优化能力的海量、高增长率和多样化的信息资产。IBM提出大数据具有5V特征：Volume（大量）、Velocity（高速）、Variety（多样）、Value（低价值密度）、Veracity（真实性）。麦肯锡全球研究将大数据定义成一种规模大到在获取、存储、管理、分析方面大大超出了传统数据库软件工具能力范围的数据集合，指出其具有海量的数据规模、快速的数据流转、多样的数据类型和价值密度低四大特征。现任牛津大学网络学院互联网研究所教授，被誉为“大数据时代的预言家”的维克托·迈尔-舍恩伯格与肯尼斯·库克耶在他们编写的《大数据时代》一书中指出：大数据不用随机分析法（抽样调查）这样捷径，而采用所有数据进行分析处理[1]。

人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI。它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学。人工智能是计算机科学的一个分支，它企图了解智能的实质，并生产出一种新的能以人类智能相似的方式做出反应的智能机器，该领域的研究包括机器人、语言识别、图像识别、自然语言处理和专家系统等[2]。

不少媒体将2013年作为世界的大数据元年，2017年12月，人工智能入选“2017年度中国媒体十大流行语”。现如今，大数据、人工智能已经渗透到各行各业，影响和改变着我们的生活，种种迹象表明我们已进入大数据与人工智能新时代。作为计算机科学与技术、软件工程等专业的核心主干课程，离散数学课程在大数据与人工智能时代背景下，面临新的挑战与变革。

屈婉玲等针对离散数学课程的教学目标、教学内容、教学设计等提出了相应的教学实施方案。该方案特点是：提供一个分层的、模块化的知识框架，教师可根据科学型、工程型、应用型的不同培养目标对教学内容做灵活配置；在教学设计中强化离散数学课程与其他专业课程之间的联系，强化素质和能力培养[3]。常亮等分析了计算思维培养与离散数学教学之间的内在关系，在此基础上分别从课程引入和课程教学两个阶段探讨如何将离散数学教学与计算思维培养有机地结合起来[4]。张艳等从离散数学课程的实用性出发，在分析课程定位的基础上，以网络化的形式构建知识单元之间的联系，引入任务驱动的实践教学环节以改变传统的教学模式[5]。

然而，在大数据与人工智能时代背景下，如何对离散数学课程重新审视和定位；沥青离散数学课程内容与大数据、人工智能之间的关联性，提出何种相应的教学、改革举措；还有很多问题，值得我们进一步探究。

1 大数据与人工智能时代背景下离散数学课程定位

离散数学是传统的逻辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科，是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支，也可以说是计算机科学的基础核心学科[6]。他可以看成是构筑在数学和计算机科学之间的桥梁，因为离散数学既离不开集合论、图论等数学知识，又和计算机科学中的数据库理论、数据结构等相关，大数据与人工智能时代背景下，数学和计算机科学尤为重要。作为它们之间的桥梁，离散数学课程应定位在更加突出的位置，它是计算机专业课程（如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等）必不可少的先行课程，而数据结构、数据库、算法设计与分析等又是能够进行大数据分析与处理的基础课程。

2 离散数学课程体系与教学改革举措

2.1 离散数学课程内容与大数据、人工智能的关联性

离散数学课程内容大体包括：数理逻辑、集合与关系、图论、代数系统、组合分析、形式语言和自动机、算法设计等内容[7]。

大数据带给我们的三个颠覆性观念转变：是全部数据，而不是随机采样；是大体方向，而不是精确制导；是相关关系，而不是因果关系。其中，离散数学课程中的集合与关系部分，主要讲授集合的基本概念与基本运算，关系的运算与性质、关系的闭包、等价关系、偏序关系，函数的定义和性质。在这一部分，分别从集合、关系矩阵、关系图等三种形式定义和描述关系，这部分内容的学习有助于大数据分析与处理中相关关系的描述与刻画。

在人工智能的研究与应用领域中，逻辑推理是最持久的子领域之一。逻辑是所有数学推理的基础，在人工智能上有实际的应用，人工智能专家系统便是以数理逻辑为基础构建的。采用谓词逻辑语言演绎过程的形式化，有助于我们更清楚地理解和推理某些子命题。离散数学中的数学推理和布尔代数这两部分内容，就为早期的人工智能研究打下了良好的数学基础[8]。

自动机是描述计算的数学模型，用来识别语音或计算函数。形式文法也是一种数学模型，用来产生形式语言，计算机使用的程序设计语言就是一种形式语言，形式语言和自动机理论密切相关，对计算机科学的实践和理论有着深刻的影响和广泛的应用，对人工智能的成功实践具有重要的推动作用。

在大数据与人工智能时代，智能电网中网络的负载均衡、频率电压同步，海洋采样网络中滑翔机的协同采样，智能交通系统中无人车辆的自主驾驶，作战系统中自主车辆的多点监视、巡逻、协同侦查、目标收集、无人机的编队飞行，卫星系统中的航天器与飞行器的姿态调整与同步、移动传感网络中的目标追踪，飓风跟踪，火场监测，无线传感器网络中节点的部署与覆盖等应用领域，常常借助有向图、无向图等刻画网络化系统中个体间的通信关系，这就需要用到离散数学课程中的图论这部分内容。

2.2 离散数学课程改革举措

2.2.1 与时俱进，不断更新教学内容

在大数据与人工智能背景下，离散数学课程教学不仅要保证传统内容的基础性，而且还要结合大数据、人工智能等相关概念，不断更新教学内容。在大数据包括的类型中，不仅有可以存储于关系型数据库的结构化数据，还有更多的无法存储于关系型数据库的非结构化数据。如何刻画和分析这些非结构化数据间的相关关系，在离散数学课程集合和关系这一部分，需要结合大数据进行内容上的更新。在多机调度、机器人任务分配中，常常使用集合、关系、函数等概念形式化描述这一问题，因此，需要结合具体的应用场景来学习掌握“形式化描述”相关内容。

在多移动机器人系统、智能交通系统、智能电网、无线传感网络等网络化系统的分布式协同控制应用中，常常用到有向图、无向图对应的拉普拉斯矩阵、随机矩阵，以及这些矩阵的特征值，便于分析整个网络化系统的动力学特征，因此，在讲解离散数学课程图论这一部分内容时，不仅要讲述图的邻接矩阵、可达性矩阵，而且还要结合上述多智能体网络化系统，讲解拉普拉斯矩阵、随机矩阵。

图灵于1936年提出一种数学模型，现在称之为图灵机，这个模型很好地描述了计算过程，其属于离散数学课程形式与语言与自动机这部分内容，讲解这部分内容时，要结合图灵机机器人进行讲解，图灵机器人平台，是基于自然语言处理、知识库和云计算等技术，为广大开发者、合作伙伴提供的一系列智能语义处理能力（包括语义理解、智能问答、知识库对接等）的服务平台。

2.2.2 在传统教学方式基础上，引进先进的教学理念与教学方法

在传统教学基础上，确保多媒体教学、实验教学的比例，更进一步引进翻转课堂教学理念，引导学生通过MOOC、互联网等媒体在课下提前查找阅读离散数学课程与大数据、人工智能相关的内容，将一些热点问题带到课堂进行研讨，在研讨过程中进行头脑风暴，产生的新问题、以及未能明确解决的问题，再一次回到课下查阅相关资料进行解决。

2.2.3 将“问题驱动”理念引入到课堂教学中

在离散数学课程教学中存在着很多富于历史趣味的故事以及富于启发性的问题，比如：生死门问题、悖论问题、哥尼斯堡七桥问题、兰姆赛问题、过河问题、迷宫问题、一笔画问题、地图着色问题等。在课堂教学中，将“问题驱动”理念融入进来，引领学生一起探索将这些问题加以解决。

3 离散数学课程教学体会

3.1 成绩发布与教学效果总结

图1为2015-2016学年第一学期计算机科学与技术专业离散数学课程成绩分布图，从统计的成绩中可以看出参考人数共计90人，不及格人数共计4人，60分以上人数共计86人，及格率为95.56%，平均分为77.14，80分以上的优秀人数共47人，优秀率为52.22%。

图1 2015-2016-1计科专业离散数学课程成绩分布

图2为2015-2016学年第一学期软件工程专业离散数学课程成绩分布图，从统计的成绩中可以看出参考人数共计71人，不及格人数共计3人，60分以上人数共计68人，及格率为95.77%，平均分为73.65，80分以上的优秀人数共27人，优秀率为38.02%。

图2 2015-2016-1软件专业离散数学课程成绩分布

从图1和图2比较中可以看出，虽然两个专业大部分学生成绩都及格，但是，软件工程专业学生的平均分、优秀比例相对计算机专业均稍低一些。

图3为2016-2017学年第一学期计算机科学与技术专业离散数学课程成绩分布图，参考人数共计111人，不及格人数共计15人，60分以上人数共计96人，及格率为86.48%，平均分为70.07，80分以上的优秀人数共36人，优秀率为32.43%。

图3 2016-2017-1计科专业离散数学课程成绩分布

图4为2016-2017学年第一学期软件工程专业的离散数学课程成绩分布图，从统计的成绩中可以看出参考人数共计88人，不及格人数共计8人，60分以上人数共计80人，及格率为90.9%，平均分为72.76，80分以上的优秀人数共41人，优秀率为46.59%。

图4 2016-2017-1软件专业离散数学课程成绩分布

从图3与图4的比较可以看出，在2016-2017学年第一学期软件工程专业学生相对于计算机科学与技术专业的学生而言，离散数学课程成绩的平均分、优秀率、及格率均稍高一点。

图5为2017-2018学年第一学期计算机科学与技术专业离散数学课程成绩分布图，从统计的成绩中可以看出参考人数共计111人，不及格人数共计17人，60分以上人数共计94人，及格率为84.68%，平均分为71.85，80分以上的优秀人数共53人，优秀率为47.74%。

图5 2017-2018-1计科专业离散数学课程成绩分布

图6为2017-2018学年第一学期软件工程专业离散数学课程成绩分布图，从统计的成绩中可以看出参考人数共计80人，不及格人数共计8人，60分以上人数共计72人，及格率为90%，平均分为72.41，80分以上的优秀人数共34人，优秀率为42.5%。

图6 2017-2018-1软件专业离散数学课程成绩分布

比较图5和图6可知，在2017-2018学年第一学期虽然软件专业学生的及格率稍高于计算机专业，但是优秀率却比计算机专业低一些。

纵观近三个学年的离散数学课程成绩，可以看出及格率均在84%至96%之间，说明计算机专业、软件专业的大部分学生能够掌握离散数学课程的基本内容；平均分在70至77分之间，并呈稍微下降趋势，原因在于加大了对数理逻辑部分等值演算、主析取范式、主合取范式等涉及公式推导类型题目的考察力度，以及增添了集合论与关系部分考察哈斯图的题型，这在一定程度上稍微增加了考试题目的难度。优秀率在32%至52%之间，并呈现波动趋势，说明这三届学生对课程重点内容的掌握程度参差不齐。

3.2 教学体会

⑴ 学生对离散数学的整个课程体系不够清晰，这就要求任课教师不仅要在期初对这门课的内容体系进行简介，最重要的是要在学期末，这门课快要结束的时候，对这门课的内容体系再次进行归纳、概括、总结，能够让学生对这门课的内容从整体、从全局，有一个清晰的认识。

⑵ 在数理逻辑部分，部分学生对什么时候使用命题符号化、什么时候使用谓词进行符号化分不清，造成在命题符号化的过程中使用混乱。一部分学生对等值演算判定公式类型、求主析取范式、求主合取范式等涉及公式推导的题目感觉比较头疼，以至于对这类题目有种畏惧感，导致在考试过程中这类题目失分较多。此外，推理理论、量词的辖域收缩与扩张等内容，无论从讲授的角度，还是从理解的角度，都可以称得上数理逻辑部分的难点。

⑶ 在集合与关系论部分，涉及抽象集合元素的计数问题，部分学生理解不够透彻，导致个别题目难以解答。在判断关系的性质过程中，自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性等个别性质的定义比较难理解，涉及到具体的题目，有些性质容易漏判，导致在考试的过程中失掉一些不该失的分数。在利用关系矩阵求传递闭包的过程中，不知道何时终止关系矩阵的运算。在利用关系图求传递闭包的过程中，容易漏画一些关系线条。针对偏序关系所对应的哈斯图，部分学生不能够准确的画出哈斯图，而且部分学生对极小元、最小元、极大元、最大元、上界、上确界、下界、下确界的辨别不够准确。涉及集合、关系、函数的多机调度问题是本部分的难点，如何对此问题进行形式化描述更是难点中的难点。

⑷ 在图论这一部分，最短路径、关键路径和着色、二部图、平面图等内容在学习过程中具有一定的难度，其中涉及求最短路径的Dijkstra算法不容易理解；判定图的同构不是非常容易；判定一个图是否是平面图，并寻找这个平面图的一个平面嵌入不是那么简单；如何画一个平面图的对偶图，并将平面图的面着色转化成对偶图的点着色，具有一定的难度。个别学生在考试过程中将求无向连通带权图的最小生成树和求最短路径混淆，导致整个题目不能得分。对于求最优二叉树的Huffman算法，在涉及具体题目求解过程中，容易出现节点层次不清的错误。

4 结论

通过对离散数学课程内容与大数据、人工智能内容的关联分析，可以清楚的认识到，在大数据和人工智能背景下，要进一步加大对离散数学课程内容的重视力度。尤其要加强课程内容中关系论、图论、形式语言与自动机等内容的学习力度，这几部分内容和大数据、人工智能的关联度比较大，学好这几部分内容将非常有助于大数据、人工智能的应用实践。

参考文献(References):

[1]迈尔-舍恩伯格,库克耶.大数据时代[M].浙江人民出版社,2013.

[2]蔡自兴,刘丽珏,蔡竞峰等.人工智能及其应用（第5版）[M].清华大学出版社,2013.

[3]屈婉玲,王元元,傅彦等“.离散数学”课程教学实施方案[J].中国大学教学,2011.1:39-41

[4]常亮,徐周波.离散数学教学中的计算思维培养[J].计算机教育,2011.14:90-93

[5]张艳,刘亚.离散数学课程教学新思考[J].计算机时代,2016.5:89-91

[6]教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会.高等学校计算机科学与技术专业核心课程教学实施方案[M].高等教育出版社,2009.

[7]耿素云,屈碗玲,张立昂编著.离散数学（第5版）[M].清华大学出版社,2013.

[8]莫愿斌.凸显计算机专业特色的离散数学教学研究与实践[J].计算机教育,2010.14:111-114