如何求向量的夹角

■李怡洁

两个向量的夹角是指当两个向量的起点相同时，表示这两个向量的有向线段所形成的角。若起点不同，应先通过平移，使其起点相同，再观察夹角。两个向量夹角的范围为[0，π]，特别地，当两个向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π。

向量的夹角与向量所在直线所成的角不同，前者的范围是[0，π]，而后者的范围是

题型1：通过向量的运算获取模长与向量的数量积，求向量的夹角

例 1已知|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为60°，求向量m=2a+b与向量n=a-4b的夹角θ的余弦值。

解：由题意知a·b=2×1×cos 60°=1。

|m|2=2a+b2=4|a|2+4a·b+|b|2=4×22+4×1+1=21。

|n|2=a-4b2=|a|2-8a·b+16|b|2=22-8×1+16×1=12。

由上可得|m|=21，|n|=23。

又因为m·n=(2a+b)·(a-4b)=2|a|2-7a·b-4|b|2=2×22-7×1-4×1=-3，

解答本题先通过题设条件，利用向量的运算确定|m|2，|n|2，m·n的值，然后求其夹角。

题型2：通过向量的运算获取模长与向量数量积的关系，求向量的夹角

例2若非零向量a，b满足|a|=3|b|=|a+2b|，求a与b夹角的余弦值。

解：由|a|=|a+2b|，两边平方得|a|2=|a|2+4a·b+4|b|2，得a·b=-b2，所以

先通过题设条件，利用向量的运算得到a·b=-b2=-b2，然后求其夹角。

题型3：通过向量的运算获取向量的模长与模长的关系，求向量的夹角

例 3已知a与b是两个非零向量，且|a|=|b|=|a+b|，求向量b与向量a-b的夹角。

解：设向量b与向量a-b的夹角为θ。

因为|b|=|a+b|，|b|=|a|，所以b2=(a+b)2，即|b|2=|a|2+2a·b+|b|2，可得a·b=-

利用题设条件得到|ab|=|b|是解答本题的关键。本题也可利用数形结合的方法，借助图形直接求解。