基于涂覆石墨烯的三根电介质纳米线的THz波导的模式特性分析∗

卫壮志 薛文瑞 彭艳玲 程鑫 李昌勇

1)(山西大学物理电子工程学院,太原 030006)

2)(山西大学,量子光学与光量子器件国家重点实验室,激光光谱研究所,太原 030006)

3)(山西大学,极端光学协同创新中心,太原 030006)

1 引 言

太赫兹(THz)波是频率在0.1 THz到10 THz范围内的电磁波,是当今世界的研究热点之一[1−5].THz波在自由空间中的传输损耗较大,且远距离传输时由于群速度色散所造成的时延差会导致信号失真[6].为了解决这些问题,用于THz波传输的波导应运而生[7−9].

自从2004年发现石墨烯以来,其独特的性能引起了广泛关注[10,11].由于在石墨烯的表面可以激发表面等离子激元(surface plasmon polaritons,SPPs)[12],其共振频率落在THz波段至红外波段,所以借助于石墨烯这种二维材料,可以构建THz波导,实现对THz波的传输[13−15].

基于石墨烯的纳米带波导是近年来用于传输THz波的波导.这种波导通常是将石墨烯纳米带铺在硅基底上构成的[16].相较于独立存在的单层石墨烯纳米带[17],最显著的区别是等效折射率大幅度增加.较强的模式约束性通常会伴随着较大的传播损耗.为了降低损耗,人们在石墨烯和硅基底之间加入极薄的一层二氧化硅层作为缓冲层,既可以增加有效传播距离,又可以提高波导的品质[18,19].在这种波导中,可以在石墨烯纳米带上激发边缘模式和波导模式.研究表明,改变工作频率或者纳米带的宽度,可以调节模式的数量、模式面积和传播距离[20].

涂覆石墨烯的纳米线波导是近年来发展起来的另外一种传输THz波的波导.这种波导通常是将单层的[21]或者多层的[22,23]石墨烯涂覆在单根[21]或者两根圆柱形的[23,24]电介质纳米线上构成的.由于没有边缘效应引起的损耗,这种波导受到了广泛的关注.研究表明,涂覆单层石墨烯的单根纳米线波导中石墨烯有助于提高模式的传播长度[21].涂覆双层石墨烯的单根纳米线波导对模式具有较强的约束性,可以减小有效模式面积,增大传播长度[22].在涂覆单层石墨烯的纳米并行线之间的狭缝区域,场的增强效应非常明显,可产生较高的梯度力[24].在涂覆双层石墨烯的纳米并行线波导的狭缝区域,可以得到更高的场增强[23].

迄今为止,尚未见解析分析过基于涂覆石墨烯的三根电介质纳米线的THz波导.本文采用多极方法对这种THz波导的模式特性进行研究.通过改变工作频率、中间纳米线半径、纳米线之间的间距以及石墨烯的费米能,对模式的有效折射率的实部和传播长度进行了详细分析.这种波导在模分复用方面具有潜在的应用前景[25−27].

2 理论模型及计算方法

基于涂覆石墨烯的三根电介质纳米线的THz波导的结构如图1所示,该波导是由三根半径分别为ρ0,ρ1和ρ2且轴心处于同一水平面上、涂覆了单层石墨烯的电介质纳米线组成.假设结构左右对称,且取典型值ρ0=ρ1=100 nm.相邻两根纳米线的圆心间的距离均为a.纳米线之间的距离为d.电介质纳米线的相对介电常数为ε1,整个结构镶嵌在相对介电常数为ε2的电介质中,并假设ε1=2,ε2=1.将石墨烯看成厚度为零的导体介质,其电导率σg=σintra+σinter,这里σintra和σinter分别是带内和带间电导率,它们可以由库珀公式得到[28]:

其中e是电子的电荷量,kB是玻尔兹曼常量,T=300 K是环境温度,~是约化的普朗克常量,ω=2πf是角频率,Γ=2×1012rad/s是载流子散射率,EF是费米能级.由上式计算可知,石墨烯的电导率的大小主要取决于工作频率f、费米能级EF以及温度T.

图1 基于涂覆石墨烯的三根电介质纳米线的THz波导的横截面示意图,电介质纳米线外侧黑色的圆环为石墨烯Fig.1.Cross section of the THz waveguides based on three graphene-coated dielectric nanowires.The black rings on the outside of the dielectric nanowires are graphene.

本文采用多级方法[29−34]对图1所示的结构支持的模式进行分析.假设波导结构中的模式在z方向上传播,以三根电介质纳米线的轴心为原点,分别建立极坐标系(r0,φ0),(r1,φ1)和(r2,φ2). 在各自的坐标系中,写出z方向的电场和磁场分量如下:

纳米线0的内部电磁场分量Ez01和Hz01的分布

纳米线0的外部电磁场分量Ez02和Hz02的分布

纳米线1的内部电磁场分量Ez11和Hz11的分布

纳米线1的外部电磁场分量Ez12和Hz12的分布

纳米线2的内部电磁场分量Ez21和Hz21的分布

纳米线2的外部电磁场分量Ez22和Hz22的分布

其中,In和Kn是修正的贝塞尔函数;

为待定系数;,其中β是传播常数,µ0是真空的磁导率.利用加法定理[29],将纳米线1与纳米线2的外电磁场Ez12,Ez22,Hz12和Hz22分别变换到纳米线0的坐标系中,则可以得到纳米线0的外电磁场Ez|0外和Hz|0外.同理可以得到纳米线1的外电磁场Ez|1外和Hz|1外,纳米线2的外电磁场Ez|2外和Hz|2外.根据Maxwell方程组可由纳米线外的z方向的电磁场计算出其他的场分量.把单层石墨烯看成厚度为零的导体边界,利用切向边界条件

其中i=0,1和2分别代表纳米线0、纳米线1和纳米线2,就可以建立一个齐次线性代数方程组,

其中[X]为(3)—(8)式中的待定系数组成的一个列矢量.假设M为(3)—(8)式及其他场分量中n的上限值,也就是说,把无穷项求和截断为M项求和,则[A]为一个方阵,且这个方阵由24×24个子方阵a(i,j)组成,每个子方阵a(i,j)中包含M×M个矩阵元am,n(i,j),其中i=0,1,···,23;j=0,···,23;m=0,1,···,M;n=0,1,···,M. 例如:

其中δmn为克罗尼克符号.

根据线性代数理论,齐次线性代数方程组(10)有解的充分必要条件是方阵[A]的行列式为0,即

通过求解方程(14),就可以得到模式的有效折射率的实部Re(neff)和有效折射率的虚部Im(neff)以及对应的模式的场分布.进一步可以得到传播长度

其中c是光速,f是工作频率.

3 结果与讨论

首先,确定最低阶模式.对于如图1所示的结构,当频率f=35 THz,半径ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,间距d=25 nm,费米能EF=0.5 eV时,利用多级方法可以得到5个最低阶模式,依次命名为模式1、模式2、模式3、模式4和模式5(Mode 1,Mode 2,Mode 3,Mode 4和Mode 5),如图2所示.这5个最低阶模式的形成可以归因于三根纳米线单独存在时所支持的两个最低阶模式(见图3所示的#0模式和#1模式)之间的5种组合,见图2(a)—图2(d).为了表述方便,采用符号“+”和“−”分别表示正的和负的表面电荷[24].可以看出,模式1是由#0,#0和#0组合而成;模式2是由#0,#1和#0组合而成;模式3是由#1,#0和#1组合而成;模式4和模式5均是由#1,#1和#1组合而成.

图2 当工作频率f为35 THz,纳米线半径ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,间距d=25 nm以及费米能EF=0.5 eV时,5种模式的场分布 (a)—(d)为5种组合方式;(e)—(i)为z方向的电场分布;(j)—(n)为电场强度分布Fig.2.The field distributions of the five modes when f=35 THz,ρ0= ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,d=25 nm and EF=0.5 eV:(a)–(d)The five combinations;(e)–(i)the z-direction electric field distributions;(j)–(n)the electric field intensity distributions.

图3 涂覆石墨烯的单根电介质纳米线的THz波导所支持的两个最低阶模式的场分布 (a),(b)z方向电场分布;(c),(d)电场强度分布Fig.3.Field distribution of the two lowest order modes of the THz waveguides based on single graphenecoated dielectric nanowire:(a),(b)The z-direction electric field distributions;(c),(d)the electric field intensity distributions.

图4 (a)有效折射率的实部和(b)传播长度随工作频率f的变化关系,实线是采用FEM得到的数值解,数据点是采用多级方法得到的解析解Fig.4.The dependencies of(a)the real part of the effective refractive index and(b)the propagation length on the operating frequency f.The solid lines are the numerical solutions obtained by FEM,the data points are the analytical solutions obtained by using the multipole method.

其次,研究工作频率f对波导的模式特性的影响. 图4是当ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,d=25 nm,EF=0.5 eV时,各个模式的有效折射率的实部Re(neff)和传播长度Lprop随工作频率f变化的关系.其中,实线是采用有限元方法(FEM)得到的数值解,数据点是采用多级方法得到的解析解,下文中均采用这种标注方法.由图4可明显看出,两种方法所得到的结果十分符合.随着频率的增大,5种模式的有效折射率的实部都在增大,传播长度都在减小.模式1和模式2的有效折射率的实部明显大于其他模式的值.在频率较低时,模式1与其他模式的传播长度差值较大,随着频率增大,差值在逐渐减小.另外,模式3和模式4的有效折射率的实部和传播长度基本是一样的.在变化的过程中,模式1的有效折射率的实部和传播长度始终是最大的,高阶模式的传播长度会出现交叉现象.

对于图4(b)中高阶模式的传播长度出现的交叉现象,可以根据场分布得到解释. 以Mode 2和Mode 5为例,图5(a)—图5(c)是当频率分别为31,36.5和39 THz时Mode 2的电场分布图,图5(d)—图5(f)是当频率分别为31,36.5和39 THz时Mode 5的电场分布图.36.5 THz是Mode 2和Mode 5达到相同传播长度所对应的频率.当频率由31 THz变化到36.5 THz时,对比图5(a)和图5(b)可以看出,Mode 2对应的场在石墨烯表面的强度增强,场与石墨烯之间的相互作用增强,波导对模式的束缚性增强,导致传播长度减小.但对于Mode 5,对比图5(d)和图5(e)可以看出,波导对模式的束缚性更强,使得传播长度的减小量更大.当频率由36.5 THz变化到39 THz时,对比图5(b)和图5(c)可以看出,Mode 2对应的场在石墨烯表面的强度增强,波导对模式的束缚性增强,导致传播长度减小.但对于Mode 5,对比图5(e)和图5(f)可以看出,波导对模式的束缚性更强,使得传播长度减小量更大.因此出现了图4(b)中高阶模式的传播长度的交叉现象.

再次,研究纳米线之间的间距d对波导的模式特性的影响. 图6是当ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,f=35 THz,EF=0.5 eV时,各个模式的有效折射率的实部Re(neff)和传播长度Lprop随纳米线之间的间距d变化的关系.可以看出,点与线十分符合.图6显示,随着间距的增大,5种模式的有效折射率的实部都在减小,传播长度都在增大并最终都趋于稳定.随着间距从10 nm增大到50 nm时,模式1和模式2的变化程度比其他模式要明显,并且二者的有效折射率的实部明显大于其他模式的值.相比较而言,模式5的变化比较平缓;而模式3和模式4的有效折射率的实部和传播长度基本不受间距变化的影响,并且这两个模式的值也是基本一样;当d>16 nm时,模式1的传播长度是所有模式中最大的,高阶模式的传播长度会出现交叉现象.

图5 当ρ0= ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,d=25 nm,EF=0.5 eV,(a)—(c)频率分别为31,36.5和39 THz时Mode 2的电场分布,(d)—(f)频率分别为31,36.5和39 THz时Mode 5的电场分布Fig.5.The distributions of the electric field of Mode 2 when the operating frequencies f are 31 THz(a),36.5 THz(b)and 39 THz(c),and the distributions of the electric field of Mode 5 when the operating frequencies f are 31 THz(d),36.5 THz(e)and 39 THz(f)with ρ0= ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,d=25 nm and EF=0.5 eV.

图6 (a)有效折射率的实部和(b)传播长度随间距d的变化关系,实线是采用FEM得到的数值解,数据点是采用多级方法得到的解析解Fig.6.The dependencies of(a)the real part of the effective refractive index and(b)the propagation length on the spacing d.The solid lines are numerical solutions obtained by FEM,the data points are analytical solutions obtained by using the multipole method.

对于图6(b)中高阶模式的传播长度出现的交叉现象,可以根据场分布得到解释.以Mode 2和Mode 5为例,图7(a)—图7(c)是当间距分别为15,28和45 nm时Mode 2的电场分布,图7(d)—图7(f)是当间距分别为15,28和45 nm时Mode 5的电场分布.28 nm是Mode 2和Mode 5达到相同传播长度所对应的间距.当间距从15 nm变化到28 nm,再变化到45 nm时,对比图7(a)、图7(b)和图7(c)可以看出,场在石墨烯表面的强度明显减弱,场与石墨烯之间的的相互作用也明显减弱,波导对模式的束缚性也明显减弱,导致传播长度明显增大.对比图7(d)、图7(e)和图7(f)可以看出,Mode 5对间距变化的依赖性小,传播长度虽然也增大,但增量比较小.因此出现了图6(b)中高阶模式的传播长度的交叉现象.

然后,研究中间纳米线的半径ρ2对波导的模式特性的影响.图8是当ρ0=ρ1=100 nm,d=25 nm,f=35 THz,EF=0.5 eV时,各个模式的有效折射率的实部Re(neff)和传播长度Lprop随中间纳米线的半径ρ2变化的关系.可以看出,点与线十分符合.从图8(a)可以看出,随着半径的增大,模式1,模式2和模式5的有效折射率的实部都在增大,模式2的变化最为明显.从图8(b)可以看出,当ρ2从25 nm 增大到75 nm时,模式1的传播长度单调递减,而模式2的传播长度先减小后增大,在半径约为40 nm处存在极小值现象.对于模式5,传播长度随着半径的增大而缓慢增大.另外,模式3和模式4的有效折射率的实部和传播长度基本不受半径变化的影响,并且这两个模式的值也基本相同.在变化的过程中,模式1的有效折射率的实部和传播长度始终是最大的.

图7 当ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,f=35 THz,EF=0.5 eV,(a)—(c)当间距分别为15,28和45 nm时Mode 2的电场分布,(d)—(f)是当间距分别为15,28和45 nm时Mode 5的电场分布Fig.7.The distributions of the electric field of Mode 2 when the spacing d are 15 nm(a),28 nm(b)and 45 nm(c),and the distributions of the electric field of Mode 5 when the spacing d are 15 nm(d),28 nm(e)and 45 nm(f)with ρ0= ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,f=35 THz and EF=0.5 eV.

图8 (a)有效折射率的实部和(b)传播长度随半径ρ2的变化关系,实线是采用FEM得到的数值解,数据点是采用多级方法得到的解析解Fig.8.The dependencies of(a)the real part of the effective refractive index and(b)the propagation length on the radius ρ2.The solid lines are numerical solutions obtained by FEM,the data points are analytical solutions obtained by using the multipole method.

在图8(b)中,当中间纳米线半径增大时,Mode 2的传播长度存在极小值现象.这一现象可以根据场分布得到解释.图9给出了当中间纳米线半径分别为(a)25 nm,(b)40 nm和(c)70 nm时Mode 2的电场分布图.可以看出,当中间纳米线半径由25 nm增加到40 nm时,场在中间纳米线的表面上的强度不断增强,场与石墨烯的相互作用增强,传播长度减小;当中间纳米线半径由40 nm增加到70 nm时,场在中间纳米线的表面上分布开始扩散,对场的束缚性减弱,因此传播损耗也会降低,使得传播长度变大.因此在40 nm处,出现了极小值现象.

最后,研究石墨烯的费米能EF对波导的模式特性的影响.基于石墨烯和贵重金属的表面等离子波导之间的最大区别是:前者可以通过化学掺杂或施加在石墨烯表面的偏置电压来改变石墨烯的费米能EF,并最终改变其表面电导率从而可以调控其支持的模式的传输特性.而后者不可以进行这些调节.图10是当ρ0=ρ1=100 nm,ρ2=50 nm,d=25 nm,f=35 THz时,各个模式的有效折射率的实部Re(neff)和传播长度Lprop随石墨烯的费米能EF的变化关系.可以看出,点与线十分符合.从图10(a)可见,随着费米能从0.4 eV增加到1.2 eV时,5个模式的有效折射率的实部都在减小,即模式束缚性减弱,但是模式1的值始终是最大的.从图10(b)可见,除了模式4和模式5的传播长度是先增大后减小,其他三个模式的传播长度都随着费米能的增大而增大.在费米能较低时,各个模式的传播长度间的差异都较小,随着费米能增大,这些差异在逐渐增大.

图9 当ρ0=ρ1=100 nm,d=25 nm,f=35 THz,EF=0.5 eV,中间纳米线半径分别为25 nm(a),40 nm(b)和70 nm(c)时,模式2的电场分布Fig.9.The distributions of the electric field of Mode 2 when the radius ρ2are 25 nm(a),40 nm(b)and 70 nm(c)with ρ0= ρ1=100 nm,d=25 nm,f=35 THz and EF=0.5 eV.

图10 (a)有效折射率的实部和(b)传播长度随费米能EF的变化关系,实线是采用FEM得到的数值解,数据点是采用多级方法得到的解析解Fig.10.The dependencies of(a)the real part of the effective refractive index and(b)the propagation length on the Fermi energy EF.The solid lines are numerical solutions obtained by FEM,the data points are analytical solutions obtained by using the multipole method.

图11 当ρ0=ρ1=100 nm,d=25 nm,f=35 THz,ρ2=50 nm,费米能分别为0.4 eV(a),0.9 eV(b)和1.2 eV(c)时,模式5的电场分布Fig.11.The distributions of the electric field of Mode 5 when the Fermi energy EFare 0.4 eV(a),0.9 eV(b)and 1.2 eV(c)with ρ0= ρ1=100 nm,d=25 nm,f=35 THz and ρ2=50 nm.

当费米能从小到大变化时,Mode 5的传播长度存在极大值现象.这一现象可以根据场分布得到解释.图11给出了当费米能分别为(a)0.4 eV,(b)0.9 eV和(c)1.2 eV时Mode 5的电场分布图.对比图11(a)和图11(b)可以看出当费米能为0.9 eV时,场的分布范围增大,场与石墨烯之间的相互作用减弱,结构对模式的束缚性减弱,导致传播长度增大.对比图11(b)和图11(c)可以看出当费米能为1.2 eV时,三根纳米线上的场的耦合增强,边上的两根纳米线上的场相互吸引,导致中间纳米线上的场收缩,场的强度增强,场与石墨烯的相互作用增强,损耗增大,传播距离下降.因此在0.9 eV处出现了极大值现象.

4 结 论

采用多极方法对涂覆石墨烯的三根电介质纳米线构成的THz波导的模式特性进行了解析分析.通过改变工作频率、纳米线之间的间距、中间纳米线的半径以及石墨烯的费米能,对5种低阶模式的有效折射率的实部和传播长度进行了研究.结果表明:随着工作频率的增大,5种模式的有效折射率的实部都在增大,传播长度都在减小,并且变化的过程中会出现交叉现象.当纳米线之间的间距不断增大时,除了模式3和模式4基本不受影响以外,模式1、模式2和模式5的有效折射率的实部都减小,传播长度都增大并最终趋于稳定,并且变化的过程中会出现交叉现象.当中间纳米线半径不断增大时,模式1和模式2的有效折射率的实部增大,模式1的传播长度单调递减,模式2的传播长度先减小后增大,模式3和模式4的有效折射率的实部和传播长度基本不受影响.对于模式5,有效折射率的实部和传播长度在缓慢增大.当改变费米能时,每个模式的有效折射率的实部都随着费米能的增大而减小.除了模式4和模式5的传播长度是先增大后减小,其他三个模式的传播长度都随着费米能的增大而增大.计算表明,多极方法所得结果与有限元法所得结果完全一致.本文研究的基于涂覆石墨烯的三根电介质圆柱形的THz波导有望在模分复用方面得到应用.

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