“一鱼三吃法”

李银国

摘要数学课程标准提出：数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。而例题的“二次开发”就能在培养学生思维能力和创新能力方面起到显著的作用。课程标准同时也提出不同的人在数学上得到不同的发展，就要求我们在基于教材教同时，还要超越教材。

关键词例题二次开发策略研究课程标准提出问题数学思想

中图分类号：G622 文献标识码：A

在当前素质教育的背景下，知识内容与以前的教材有所不同。当前的数学教材更加强调基础知识、基本技能。重视知识的发展与认识的过程。以前教材中一些难以理解，深层次的知识和定理变成了探索知识，教材在编写中经常含沙射影中提出，有些教师一旦对教材研究不够透彻，就容易错过。就达不到课程内容的层次性和多样性，更不能提高学生的思维能力和创新能力。

1《课程标准》的要求

《课程标准》给出了10个数学课程核心概念，其中应用意识和创新意识决定了一节课的深度和广度。《标准》给出的说明是：学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到的猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。

1.1培养学生数学思想、解题能力和数学知识拓展

例题的“二次开发”就能很好地达到这种效果。因此对例题、“二次开发”也是成为教材“二次开发”的重要部分，例题的“二次开发”重点对题目的背景、题目的条件与结论、题目的解法、题目中的基本图形进行“二次开发”。

【案例1】如图2-43，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠CAD=∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。（苏教版《数学》九（上）P67页例题2）

这个例题考查直线与圆相切的判定条件：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。如果教师只看到这一点,那么教师对教材研究不够透彻，如若把“AB是⊙O的直径”改成“AB是⊙O的弦”这个题目就变成：

【变式】如图2-43，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的弦，∠CAD=∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。

解析：连结AO并延长交⊙O与点E，再连结CE。根据∠ABC=∠AEC，题目就转化成例2了。

［教学效果1］巩固和加深了圆中直径辅助线的认识：通过直径“构造直角”。

［教学效果2］解题方法与数学思想的培养：例2中“AB是⊙O的直径”到变式中“AB是⊙O的弦”是“特殊”到“一般”的过程。解决这一类题我们通常用“类比”的数学思想来解决。通过添直径辅助线，把变式就转化成我们已经解决的例题。

1.2深度挖掘题目实质，提高教师教学能力

平时的教学过程中，教师对教材例题“二次开发”往往意识不够，在备课中不能对例题进行深层的挖掘、拓展、再创造，在授课时也往往出现一笔带过、草草了事的教学现状，根本没有很好的利用例题所潜在的价值，而教材例题的“二次开发”能促使学生的学习方式由“重结论轻过程”向“过程与结论”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的本质属性，从而达到“做一题，通一类，会一片”的解题境界。

【案例2】如图2-44，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E。DE与AC有怎样的位置关系？为什么？（苏教版《数学》九（上）P67页例题3）

题目分析：题目中已知DE是切线，根据切线的性质学生不难想到添辅助线：连结半径OD。则OD⊥DE，图中很明显DE和AC的关系是垂直，即是要我们证DE⊥AC，也就是要证AC‖OD，已知题目中有AD是角平分线，△AOD是等腰三角形，那么这个题目的本质就是考查学生对“角平分线、平行线、等腰三角形”知二求一这个模型是否掌握。为了巩固学生对这个模型的理解，课上我们就可以对这个例题进行“二次开发”。

【变式1】如图2-44，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E。试说明DE是⊙O的切线？

题目分析：“AD平分∠BAC”具备角平分线；“AO=DO”具备等腰三角形。

根据：“知二求一”我们可以得到AC‖OD再由两直线平行同旁内角互补，就可以得到∠EDO=90埃就DE是⊙O的切线。

【变式2】如图2-44，AB是⊙O的直径， DE⊥AC，垂足为E。DE是⊙O的切线，试说明弦AD平分∠BAC。

三个条件“知二求一”，例题+变式1，我们还可以如何來变式呢？第三个变式可以抛给学生，让学生自己来出题，做自己的题目。让他们进一步理解“发现和提出问题，分析和解决问题”。从解决问题内涵上看，变得更丰富：增加了发现问题的能力；从问题来源上看，视角更宽广：增加了从数学知识之间的联系出发发现、提出问题的要求。

2例题“二次开发”的一些困惑

数学教材例题的“二次开发”，一方面教师的自身素养会在研究的过程中不断提高，数学课堂的效果会更加有效。另一方面在这样的教学模式下能充分激起学生学习数学的兴趣，并能主动地、自觉地去探究数学问题，有利于促进学生的发展。

总而言之，新课改背景下的数学课堂不是封闭的知识集中训练场地，而是学生自主学习、合作探究、实践操作的学习阵地。我们要利用课堂教学这个实施素质教育的主阵地，培养学生解题能力和数学思维，只要坚持不懈、持之以恒，我们就会培养出具有创新意识和创新能力的适应社会发展的所需的人才。

参考文献

[1]谭颖.数学教学如何培养学生的创新意识[J].无锡教育,2005.

[2]陈小平.让数学课堂活起来[J].无锡教育,2007.

[3]马复,凌晓牧.新版课程标准解析与教学指导[M].北京师范大学出版社,2012.

[4]孙莉.思路生成贵在自然,一题一课追求[J].中学数学,2016.