构造法在三角证明中的应用

摘要：在进行三角证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化，使数学问题较轻松地解决。

关键词：三角形；辅助线；三线合一

在解题时按常规方法难以解决或无以下手时，就需要改变方向，在更广阔的背景下，通过对条件或结论的分析与思考，构造出与问题有关的代数或几何模型，从而找到解决问题的方法与途径。巧妙应用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种知识相互渗透与交融，使学生的视野更开阔。在进行三角证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化，使数学问题较轻松地解决。

一、 构造等腰三角形

等腰三角形主要的性质：等边对等角，等角对等边，三线合一

构造等腰三角形的“四个方法”：

1. “角平分线+平行线”构造等腰三角形；

2. “角平分线+垂线”构造等腰三角形；

3. 应用“垂直平分线”构造等腰三角形；

4. 用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形。

例1如图，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE，求证：BD=2CE。

分析：由图形知，BE既是角平分线，又是垂线，故可构造等腰三角形（延长CE交BA的延长线于点F）。由等腰三角形三线合一，知CF=2CE，故只需再证BD与CF相等（由△ADB≌△AFC可得）。

二、 构造等边三角形法

等边三角形既具有等腰三角形的性质，又具有自身的特性：三条边相等，三个内角都是60°。同时它还是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线，各边上的高线、中线、对应的角平分线互相重合。……