基于弹塑性耗能差率的地震损伤评估模型及分析方法

何浩祥， 陈 奎， 范少勇

(1．北京工业大学工程抗震与结构诊治北京市重点实验室， 北京 100124; 2．首都世界城市顺畅交通北京市协同创新中心， 北京 100124)

引 言

地震动是复杂剧烈的随机振动。在中震或大震作用下，建筑结构会发生不同程度的弹塑性损伤。传统的结构抗震设计一般仅要求结构满足规范规定的抗震设防目标，而基于性能的抗震设计则根据结构在地震中的不同性能需求确定更详细的预定目标，从而实现社会对结构抗震性能的多层次要求[1]。在基于性能的抗震设计思想指导下，众多研究者相继提出了基于位移、基于能量、基于损伤和基于易损性等抗震设计方法以及相应的性能参数和目标[2]。

基于能量的抗震设计方法同时考虑了结构的承载能力和变形能力，更全面地反映了结构的抗震能力，因此相对更为综合全面，是未来基于性能抗震设计方法中的重要组成。此外，地震对结构的作用是能量的传递、转化与消耗的过程，良好的能量性能参数应既能充分反映地震动强度、频谱、持时和加载路径特性对结构累积损伤破坏的综合影响，又能细致反映结构滞回耗能能力和延性特征。

Housner[3]首先提出结构的累积滞回耗能指标可以反映地震的累积损伤效应。之后，Akiyama[4]提出了基于能量抗震设计的思路和方法，并部分应用于日本抗震规范中。Fajfar[5]系统地研究了结构能量输入和分配关系，使基于能量的抗震设计方法能够综合考虑滞回耗能与变形对结构损伤的影响。近年来，国内外学者在累积滞回耗能分布规律、输入能量谱和累积滞回耗能谱以及基于能量的抗震设计体系与流程等方面进行了深入研究[6]。

纵观现有成果，目前的基于能量的性能参数和抗震设计方法大多将结构等效为单自由度并利用能量谱分析来评价其性能，并没有全面、充分地反映多维多自由度结构的能量需求和性能水平细节，同时在反映地震动时程下结构损伤过程、程度和随机特性等方面也有所欠缺。鉴于此，在已有研究基础上提出更加全面精确的能量参数和目标，细致表现构件、楼层和结构整体的损伤演变过程、性能水平与需求，具有重要的研究意义。

1 结构震害损伤评估模型述评

在基于性能的结构抗震设计体系内，震害损伤模型需要反映构件或结构在地震作用下的刚度、承载力和耗能能力退化的过程，即损伤演变过程。损伤指数是定量描述损伤模型特征的重要参数。现有的结构损伤模型分别包括基于强度、变形、刚度、周期(频率)、能量和变形-能量双重参数等多类。

基于变形的损伤模型一般将由能力谱法或时程分析法获得的层间和顶部位移角作为损伤指数来评定结构的抗震性能，目前已成为性能设计中的常规方法。在推覆分析中，基于刚度的损伤模型得到了广泛应用。在此基础上，Ghobara[7]提出了以损伤前后两次推覆分析获得的刚度比来评价整体损伤的方法。但以上损伤模型均不能充分反映结构累积损伤特征和滞回耗能能力。HE[8]提出利用整体损伤指数、最大层间位移角、滞回耗能循环次数和楼层能量集中作为性能目标，建立了结构地震多重模糊损伤评估方法。近年来，通过时变周期(频率)来评价结构整体动力损伤程度的方法逐渐兴起[9]，但如何在动力分析中获得更准确的时变特性以及如何考虑多阶振型的影响仍需要深入研究。

一般认为，结构最大反应与累积耗能的损伤界限相互影响，因此在诸多损伤模型中由最大变形和累积滞回耗能线性组合而成的Park-Ang模型[10]被广泛认可和应用，其公式为

(1)

式中xcu为构件在单调加载下的极限位移；Fy为构件的屈服强度；xm和Eh为构件实际的地震最大变形和累积滞变耗能；β为构件耗能因子。

然而，Park-Ang模型的不足也很明显：(1)该模型采用的线性组合模式缺乏足够的理论基础，是一种半经验模型，这种不准确性同样表现在耗能因子的确定上；(2)一般仅适用于构件的静动力损伤分析，在层间或结构整体的时程损伤分析中应用性较差；(3)界限值不严格收敛，在弹性阶段其损伤指数不等于0，而在极限承载力阶段损伤指数又通常大于1，严重影响了损伤评价精度；(4)不能反映加载中循环幅值变化对构件极限滞回耗能的影响，即加载路径效应。针对上述问题，国内外学者对原始模型进行了不断地修正，但并不能彻底改进所有缺陷[11-12]。

在基于能量的损伤模型中，Krätzig[13]提出了基于主从滞回环能量的模型，效果较好。Gosain,Krawinkler和Ibarra等分别提出基于循环退化率的损伤模型[14-16]。Kunnath[17]提出了结构滞回耗能循环次数的概念，即将结构总滞回耗能折算成结构在地震下经历的最大滞回循环过程中消耗的能量的次数，用以反映结构滞回耗能能力。这些模型的共同不足是一般只限用于构件的低周往复损伤分析中，无法在结构整体的时程损伤分析中应用。另外，现有的基于能量谱的性能设计方法又通常偏重于简单体系能量参数的概率特征和阈值控制而不能完全评价复杂结构的损伤细节。

有鉴于此，摆脱Park-Ang等损伤模型的形式束缚，探究结构在地震动下能量转化消耗机理，不落窠臼地发展计算简便准确、适用性强的动力损伤参数和模型具有重要的研究意义。

2 基于弹塑性耗能差率的损伤模型

2.1 弹塑性耗能差率损伤模型

在小幅外力作用下，构件或结构产生弹性变形能，此时若将该力撤去则结构可恢复到初始位移且不发生损伤。若外力作用较强，构件或结构将发生屈服破坏，转化的能量以塑性变形能为主，且随着力的增加产生更严重的损伤。如果提高结构的承载力令其不发生屈服，即确保结构处于理想弹性状态，则损伤仍不会发生。可见，理想弹性变形能表征了结构保持弹性状态需要消耗的变性能，而弹塑性变形能是结构实际产生的变性能。二者之间的差异越大，损伤越严重，因此该差值反映了损伤的形式和程度，即可以用该差值表征损伤特性。与上述思想类似，Najar[18]曾从能量损失的角度提出混凝土等脆性固体材料的损伤理论，认为损伤变量可用无损状态下应变能与损伤状态下应变能的差值与无损应变能之比来表示，该理论目前已在材料损伤评定和有限元分析中有所应用。

对于如图1所示的理想弹塑性单自由度体系，设其弹性阶段的刚度为ke，后屈服刚度系数为α，屈服力和屈服位移分别为Fy和uy。当结构处于弹塑性状态时，在位移um处的力和位移分别为Fm和um，现时延性为μm=um/uy，相应的周期为Tm。假定弹塑性状态时的结构可采用割线刚度km进行等效，则

图1 理想弹塑性体系耗能示意图
Fig.1 Energy dissipation of ideal elastic-plastic system

其刚度损伤指数可表示为

(2)

如图1所示，面积S0BCD为结构位移为um时实际产生的弹塑性变形能EF，面积S0AD为相应的结构理想弹性变形能EE，面积SABC为上述二者之差，即弹塑性耗能差ED。由以上概念提出的基于弹塑性耗能差率的损伤指数可表示为

(3)

由以上结果可以看出，该能量损伤指数与刚度损伤指数均能够反映结构恢复力特征、最大弹塑性变形、延性和周期等重要因素，且形式近似。二者的区别在于前者反映了现时延性变化的平方趋势，而后者反映了现时延性变化的线性特征，分别符合各自的理论框架。综上可认为：基于能量、刚度、位移和周期的损伤模型是密切相关的，表征形式相关联但内涵不同。刚度损伤指数由于近似等效产生了一定程度的偏差，而能量损伤指数的概念则更严格、明确和全面，数值严格在0～1之间，是构建最理想的损伤模型的基础。

2.2 拟静力下的耗能差率损伤模型

对于在低周往复加载等拟静力作用下的结构，一般认为可采用累积滞回耗能或体系变形能来准确描述加载过程中产生的累积损伤程度。由于基于弹塑性耗能差率的损伤模型涉及恢复力特征和位移响应，能够明确地反映包含累积滞回耗在内的体系变形能与理想弹性变形能之间的关系，因此在对单调加载的损伤模型基础上进行一定改进后，可以使其适用于拟静力加载下的损伤评估。

设i为加载历程中第i个加载步骤，且结构或构件在外力F(i)下已进入弹塑性阶段，利用试验技术或弹塑性分析方法可获得结构的基底剪力FF(i)和顶部位移uF(i)，则相应加载步下结构整体的等效弹塑性变形能可表示为EF(i)=0.5FF(i)uF(i)。在全部结果中，该弹塑性体系顶部位移最大值为uFMax。若将外力作用F(i)乘以降幅系数γ以确保结构在外力γF(i)作用下只产生弹性变形，且其顶部位移结果及其最大值分别为uE0(i)和uE0MAX，其基底剪力结果为FE0(i)。设调幅系数β=uFMAX/uE0MAX，则为了使结构顶部弹性最大位移能够达到uFMax，需要将uE0(i)乘以β倍得到调幅弹性位移uE(i)=βuE0(i)，相应的调幅弹性力为FE(i)=βFE0(i)。因此，根据本文提出的基于理想弹性变形能差的损伤模型的思想，对应于外力F(i)下的结构等效理想弹性变形能可表示为

EE(i)=0.5FE(i)uE(i)=

0.5β2FE0(i)uE0(i)

(4)

由此可推导出对于在外力F(t)下已进入弹塑性状态的结构能量损伤指数曲线可表示为

(5)

式中FFi和FEi分别为第i步骤时弹塑性状态下和理想弹性状态下的基底剪力，uFi和uEi分别为第i步骤时弹塑性状态下和理想弹性状态下的顶部位移。

2.3 动力下的耗能差率损伤模型

对于弹塑性单自由度体系，其在地震动作用下的结构动力方程为

(6)

将上式两端对相对位移x取从x(0)到x(t0)积分，可得

EK(t)+ED(t)+EF(t)=EI(t)

(7)

EE(t)=FE(t)uE(t)=β2FE0(t)uE0(t)

(8)

(9)

式中FFi和FEi分别为i时刻弹塑性状态下和理想弹性状态下的基底剪力，uFi和uEi分别为i时刻弹塑性状态下和理想弹性状态下的顶部位移,b为结构首次进入屈服状态时对应的时间点，n为从时间点b至现时t的步长数。只有准确确定b值方能确保在地震动初始阶段结构尚处于弹性状态时其能量损伤指数为0。建议按下述方法确定b值：分别计算等效弹塑性刚度时程kF(t)=FF(t)/uF(t)和等效弹性刚度时程kE0(t)=FE0(t)/uE0(t)，然后计算等效刚度比时程R(t)=kE0(t)/kF(t)。当R(t)首次出现明显大于1的时间点即可取为b。

基于理想弹性变形能差的损伤指数曲线能够准确反映结构恢复力特征、累积滞回耗能时变性和损伤演变过程，且其值严格控制在0～1之间。通常可取损伤指数曲线中的最大值或末段中较稳定的数值作为等效损伤值。此外，通过对不同记录和幅值的地震动下的响应进行分析，还可以得到结构的易损性曲线。值得注意的是，在个别大震下结构的顶部位移最大值出现的时刻可能与中小震下位移最大值出现的时刻tp不同，为确保损伤指数的一致性，建议将大震时程里tp时刻对应的位移作为有效最大值uFMax。

针对基于性能的结构设计框架，根据震后结构的破坏程度和修复水平，可将震害划分为基本完好、轻微破坏、中等破坏、严重破坏和倒塌5个等级。参考已有研究成果并结合能量损伤指数的特点，定义对应结构不同破坏等级的损伤性能目标，如表1所示。通过式(5)或(9)和表1便可较便捷地实现结构整体或其在某一方向的损伤评估。

表1 不同震害等级对应的损伤指标范围

Tab.1 Range of damage index for different damage grades

损伤程度破坏描述损伤目标基本完好承重构件完好,个别非承重构件轻微损坏,附属构件有不同程度破坏。0.00～0.10轻微损伤个别承重构件有轻微残余变形,个别非结构构件明显破坏,附属构件有不同程度破坏。0.10～0.25中等破坏多数承重构件有轻微残余变形,部分有明显残余变形,个别非结构构件严重破坏。0.25～0.60严重破坏多数承重构件严重破坏或部分倒塌0.60～0.80倒塌多数承重构件倒塌。0.80～1.00

2.4 不同损伤模型能力比较

需要指出的是，已有部分研究者提出了利用结构理想弹性耗能和实际累积耗能之间的联系建立损伤模型和指数的方法。刘哲锋等[19]将结构损伤定义为结构在单向水平荷载作用下结构耗散塑性应变能与存储弹性应变能的能力的损失，并构建损伤模型，但该方法并不能体现结构滞回耗能的演变过程。刘良林等[20]将释放的弹性能与理想弹性能之比定义为构件损伤指标，没有反映滞回耗能对损伤的影响，其结果是不正确的。刁波等[21]基于能量耗散原理和滞回特性建立了构件累积损伤模型，其形式与本文提出的静力作用下的能量损伤模型类似，但未能解决真实地震动下结构的时变损伤的求解问题。本文提出的方法机理明确、阈值严格，且对静动力下的构件和结构损伤评定均能适用。表2比较了前文所述不同类型的损伤模型或损伤评定方法的特点和能力。其中，“机理明确”是指相应的计算公式是否有明确的力学基础。可以看出，本文提出的损伤模型具有较强的优势，可以进一步应用和发展。

表2 不同损伤模型能力比较

注：●表示具备相应能力，○表示不具备相应能力；“/”表示或者。

3 算例分析

为了验证能量损伤模型在构件和结构损伤评定中的准确性和全面性，本文针对不同结构类型和加载模式进行计算分析。首先，利用文[22]中的剪力墙低周反复试验盲赛数据及Opensees有限元模型，验证能量损伤模型在构件不同静力加载模式下的准确性。该剪力墙模型尺寸及配筋如图2所示。对剪力墙顶端进行位移单调加载，通过有限元模拟获得其反力-位移曲线和损伤指数曲线如图3所示。结果表明损伤指数能够准确反映该模型损伤逐渐发展直至倒塌破坏的过程。

采用数值分析方法， 对剪力墙顶端施加力并采用位移控制，进行如图4所示的两种不同路径下的低周往复加载。相关滞回曲线如图5所示。提取每一加载循环下的滞回环曲线，并按照式(1)计算出Park-Ang损伤指数曲线，按照式(5)计算基于弹塑性耗能差率的能量损伤指数曲线，结果如图6和7所示。可以看出，两种模型都在一定程度上体现了剪力墙的损伤发展规律，但Park-Ang损伤指数过早地超过了1，同时也不能充分表征不同加载路径下损伤演变的差异。究其原因， Park-Ang损伤模型中能量损伤项的分母为常数，而分子部分表示的累积滞变耗能将随着滞回环的增加不断增大。因此，其值实际表示了滞回耗能的增长趋势而没有充分表征损伤的演变特性；此外，由于该值并不是能量的相对变化率，因而其最大值很可能超过损伤阈值上限1。与此相反，能量损伤指数克服了上述局限。此外，如图7所示，在加载路径2中结构在初始阶段出现明显大变形之后又恢复正常，因此其损伤指数出现了激增和突变。此现象验证了损伤指数能够反映不同加载路径下的损伤演变，且其具体数值和变化规律更准确细致。

图2 剪力墙模型简图(单位:mm)Fig.2 Shear wall fiber model diagram(Unit:mm)

图3 剪力墙反力-位移曲线与损伤曲线Fig.3 Force-displacement curve and damage curve

图4 不同低周往复加载路径对比Fig.4 Comparison of different load paths

图6 不同加载路径下Park-Ang损伤指数对比Fig.6 Park-Ang index of different load paths

图7 不同加载路径下能量损伤指数对比
Fig.7 Energy damage index under different load paths

为了验证能量损伤模型同样适用于结构的推覆分析和地震动时程分析，本文建立如图8所示的6层框架结构有限元模型并利用Opensees进行计算。该结构底层层高3.5 m，其余层高3 m，X向和Y向长度分别为9 m和7 m。柱截面尺寸为400 mm×400 mm，配筋率为1.5%，梁截面尺寸为200 mm×200 mm，配筋率为1.2%。钢筋采用HRB400，混凝土等级为C35。首先分别采用倒三角和均布加载模式对结构进行推覆分析。对结构顶部进行位移控制，目标位移为200 mm。提取底部剪力和顶部节点位移，如图9所示，计算得到结构的能量损伤曲线，如图10所示。结合图9和10可见随着顶部位移的增加，结构损伤呈递增趋势，直到发生严重破坏后损伤指数变化缓慢。可认为基于能量的损伤模型能够准确反映推覆模式下的结构损伤发展过程。

图8 框架结构示意图
Fig.8 Schematic diagram of RC frame

图9 不同推覆加载模式下顶部位移与基底剪力曲线
Fig.9 Top displacement and base shear of pushover modes

图10 不同推覆加载模式下结构损伤曲线Fig.10 Damage index of different pushover modes

图11 等效刚度比曲线Fig.11 Effective stiffness ratio curve

图12 弹性与弹塑性瞬时能量对比Fig.12 Comparison of instantaneous energy

采用弹塑性动力时程分析计算单向和三向El Centro波作用下该框架结构的动力响应，分析其在地震下的整体损伤和层间损伤演变规律，结果如图11～14所示。按上文所述方法计算等效刚度比时程R(t)，发现在3.8 s左右刚度比已明显超过1.0，因此将该时刻确定为初始屈服时刻。结构整体的等效弹塑性变形能EF(t)和理想弹性变形能EE(t)曲线如图12所示，可见在3～7 s持时内是结构主要发生弹塑性耗能的阶段，在时程中后期EE(t)已明显大于EF(t)，结构损伤趋于平稳。

从图12可以看出，当结构整体一旦屈服后，能量损伤指数随着地震动的幅值逐渐增大迅速增长，其数值随着地震动和响应的随机性和往复性发生一定的波动，且严格介于0～1之间。在地震后期由于地震动幅值的逐渐减少以及结构自身刚度的恢复，损伤指数呈现适当的下降。在中小震下，结构的损伤发展较缓慢，并且损伤峰值相对于地震峰值有滞后性；在大震下，结构迅速发生明显的严重损伤，损伤指数峰值和地震峰值基本同步。此外，比较图13和14的结果可以发现能量损伤指数较明显地反映了地震动多维耦合作用对损伤发展的不利影响。

图13 单向地震下不同地震幅值损伤曲线对比Fig.13 Damage curves of single direction earthquakes

图14 多维地震下不同地震幅值损伤曲线对比Fig.14 Damage curves of multiple earthquakes

利用各楼层的层间剪力和层间位移可获得各层的损伤指数最大值和最大层间位移，其中0.7g地震下的结果如图15所示，可以看出底层的损伤最为严重，随着层数的增加，损伤不断减小，这符合结构的实际情况。同时也可发现仅仅依靠层间位移来判断各层损伤程度是不够准确全面的。

图15 层间损伤曲线对比Fig.15 Comparison of floor damage curves

综上所述，本文提出的基于能量差的损伤模型能够准确、全面、细致地表征构件和结构在静力加载和地震动作用下的损伤演变过程和特征，可为基于性能的结构抗震设计的应用和发展提供有力的支持。

4 结 论

结构在地震作用下的损伤演变过程是复杂随机的。在材料、构件、整体结构3个层次上建立良好的损伤模型和损伤指数反映损伤状态，不仅能够准确有效地评价结构损伤的变化和程度，还可以为基于性能的结构设计和修复提供必要的依据。目前的损伤模型和损伤指数类型众多，但大部分存在诸如机理不明确、阈值范围不严格、无法反映不同层次下的结构加载路径和耦合作用等不足，制约了基于性能的结构设计的发展和普及。结构地震损伤破坏是由地震动特性和结构耗能特性共同决定的，基于能量的损伤模型机理明确，能够全面反映地震动和结构能量传递、转化与消耗的过程并对损伤程度做出准确判断。

本文认为损伤的形式和程度与结构理想弹性变形能和实际弹塑性变形能之间的差异直接相关，可以用该差值表征损伤。针对目前各种损伤模型的不足，进而提出了对应不同静动力加载方式的弹塑性耗能差损伤模型。从静力和动力两个角度分别阐述了相关能量模型的机理以及其与基于其他参数损伤模型之间的联系与区别，论证了该模型的优越性。提出了利用弹塑性动力时程分析方法获得基底剪力和顶部位移从而计算理想弹性变形能、整体屈服产生时刻，进而获得结构损伤演变过程的方法。最后，通过剪力墙及框架结构静动力弹塑性分析验证了该能量损伤模型具有机理明确、阈值严格、计算准确便捷、适用性强以及能够同时反映加载路径效应和多维耦合作用影响等优点，可以应用和推广。

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