例谈电磁感应中的双电源问题

山东 庞 超

电磁感应是电磁学中最为重要的内容，也是高考命题频率最高的内容之一。主要考查电磁感应、楞次定律、法拉第电磁感应定律、自感等知识，多结合电学、力学部分作为压轴题，其命题形式主要是电磁感应与电路规律的综合应用、电磁感应与力学规律的综合应用以及电磁感应与能量守恒的综合应用等。

在电磁感应中，有两种情形可产生感应电动势：一是空间磁场不变，闭合回路中的部分导体切割磁感线时产生感应电动势，此种情形产生的电动势一般称为“动生电动势”；二是闭合回路不动，穿过回路的磁场在变化，从而引起回路中磁通量变化而产生感应电动势，此种情形产生的电动势一般称为“感生电动势”。在一些电磁感应问题中,如果同时存在这两种电动势，即有两个电源,我们称之为双电源问题。由于这类问题综合性强,涉及的物理过程复杂多变,因而成为高考中的热点和难点。

一、电池和感应电动势形成的双电源问题

【例1】如图1所示，固定于水平面的U形导线框处于竖直向下、磁感应强度为B0的匀强磁场中，导线框两平行导轨间距为l，左端接一电动势为E0、内阻不计的电源。一质量为m、电阻为r的导体棒MN垂直导线框放置并接触良好。闭合开关S，导体棒从静止开始运动。忽略摩擦阻力和导线框的电阻，平行轨道足够长。请分析说明导体棒MN的运动情况，在图2中画出速度v随时间t变化的示意图；并求出导体棒达到的最大速度。

二、两个感应电动势方向相同的电源问题

对于两个感应电动势方向相同的双电源问题，根据串联电路的基本特点，应该有回路中的总电动势等于两个电源电动势之和。必须注意的是，这里所说的电动势方向相同，指的是整个回路中的方向，而不是仅仅指电源部分。

【例2】在倾角为θ足够长的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小相等的匀强磁场，磁场方向一个垂直斜面向上，另一个垂直斜面向下，宽度均为L，如图4所示。一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形线框在t=0时刻以速度v0进入磁场，恰好做匀速直线运动，若经过时间t0，线框ab边到达gg′与ff′中间位置时，线框又恰好做匀速运动，则下列说法正确的是 ( )

A．当ab边刚越过ff′时，线框加速度的大小为gsinθ

D．离开磁场的过程中线框将做匀速直线运动

【例3】如图5所示，两金属杆ab和cd长均为L，电阻均为R，质量分别为M和m，用两根质量、电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路，并悬挂在水平、光滑、不导电的圆棒两侧，两金属杆都处于水平位置，整个装置处于与回路平面垂直的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度为B。若金属杆ab正好匀速向下运动，求运动的速度。

【解析】若ab棒以速度v向下匀速运动，cd棒也以速度v向上匀速运动，两棒都垂直切割磁场线产生感应电动势。由于二者运动的方向相反，使得棒中的感应电流方向也相反，则在整个闭合电路中，感应电动势为两棒产生的电动势之和，即

E=2BLv

根据楞次定律，容易判断ab棒受到的安培力方向向上，cd棒受到的安培力方向向下，悬线对两棒的拉力都向上，且都为T，则ab棒的平衡方程：

Mg=BIL+T

而cd棒的平衡方程：mg+BIL=T

三、两个感应电动势方向相反的电源问题

对于两个感应电动势方向相反的电源问题，同样可以根据串联电路的基本特点，回路中的总电动势等于两个电源电动势之差。同样应该注意的是，这里所说的电动势方向相反，指的是整个回路中的方向，而不是仅仅指电源部分。

【例4】如图6，在水平面上有两条平行导电导轨MN、PQ，导轨间距离为l，匀强磁场垂直于导轨所在的平面(纸面)向里，磁感应强度的大小为B，两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为m1、m2和R1、R2，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为μ，已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度v0沿导轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功的功率。

【解析】由于两杆均做切割磁感线运动，故这是一个“双电源”问题。设杆2运动速度为v，两杆运动时，两杆和导轨构成的回路中的磁通量发生变化，产生感应电动势，由于二者运动的方向一致，使得棒中的感应电流方向均向上，即两个棒中的感应电流方向相同，而对于整个闭合电路，两棒流入电路的感应电流方向相反，则感应电动势为两棒产生的电动势之差，则

E=Bl(v0-v)

杆2做匀速运动，故它受到的安培力应等于摩擦力，即有BIl=μm2g

故导体杆2克服摩擦力做功的功率P=μm2gv

【例5】如图7所示，相互平行的光滑金属导轨(电阻忽略不计)在同一水平面内，处于竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感强度为B，导轨左端的间距L1=3l0，右端间距L2=l0，两段导轨均足够长且用导线连接。今在导轨上放置AC、DE两根导体棒，质量分别为m1=2m0,m2=m0；接入电路的电阻分别为R1=3R0,R2=R0。现使AC棒以初速度v0向右运动，则：

(1)若DE棒固定，在AC棒运动过程中，回路感应电流的方向如何？整个电路产生的电热为多少？

(2)若DE棒可自由运动，求两棒在达到稳定状态(两棒各自以不同的速度做匀速运动)前，加速度大小之比和在达到稳定状态时速度之比。

【解析】(1)由右手定则可知，回路感应电流为顺时针方向。

由能量守恒定律可知，整个电路产生的电热

(2)两棒达到稳定之前AC、DE棒中通过的电流大小(设为I)始终相等，设加速度分别为a1和a2，则有

当两棒运动速度满足一定关系时，回路中的磁通量不变，感应电流为零，两棒均做匀速运动。设两棒最终速度分别为v1、v2，则BL1v1t=BL2v2t

四、同时存在动生电动势和感应电动势的双电源问题

在有的电磁感应问题中，两个电源的来源不是全部通过导体切割磁感线而产生，也可能是闭合回路不动，而穿过回路的磁场在变化，从而引起回路中磁通量变化而产生感应电动势，要注意区别，然后根据电源的连接情况解析相关运算。

【例6】如图8所示，两条平行的金属导轨MN、PQ固定在绝缘水平面上，两导轨之间距离L=1 m，且MP、AB、CD、EF之间间距也均为L=1 m，导轨MN、PQ和MP单位长度电阻均为R0=0.1 Ω，虚线AB右侧空间存在匀强磁场，磁场方向竖直向下，且大小随时间的变化关系为：Bt=(0.2+0.1t) T，导体棒开始时在外力作用下静止于CD处，若导体棒电阻的不计，求：

(1)通过导体棒的电流大小和方向；

(2)若导体棒在外力作用下以2 m/s的速度匀速向右运动，在t=0时刻刚好经过CD处，则此时导体棒所受的安培力为多大；

(3)在第(2)问的情景下，导体棒从CD匀速运动到EF的过程中安培力做的功为多少？

【解析】(1)导体棒不动时，回路中产生感生感应电动势，根据法拉第电磁感应定律：

而此时回路总电阻:

R=5LR0②

由闭合电路欧姆定律：

由①②③解得：I=0.2 A

根据楞次定律可知电流的方向为D到C。

(2)导体棒匀速运动时，同时产生感生和动生电动势，由楞次定律可知，方向相同，根据法拉第电磁感应定律：

由闭合电路欧姆定律：

导体棒所受的安培力：

F1=B0I1L⑥

由②④⑤⑥解得：F1=0.2 N。

(3)根据法拉第电磁感应定律,t时刻的总电动势为：

t时刻回路的总电阻为：

Rt=5LR0+2vtR0⑧

t时刻通过导体棒的电流为：

由⑦⑧⑨解得：代入数据得：It=1 A

即回路电流为定值，与时间无关，所以导体棒所受安培力随时间均匀变化；而导体棒匀速运动，从而安培力随位移也均匀变化，则导体棒运动到CD处所受安培力为：

F1=BCDIL⑩

则安培力所做的功为：

由以上各式，解得：

W=-0.225 J。

【例7】如图9所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r0=0.10 Ω，导轨的端点P、Q用电阻可以忽略的导线相连，两导轨间的距离l=0.20 m。有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感应强度B与时间t的关系为B=kt，比例系数k=0.020 T/s。一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直。在t=0时刻，金属杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t=6.0 s时金属杆所受的安培力。

【解析】为求杆所受的安培力，须求出回路中的感应电流。

此时，杆的速度v=at

杆与导轨构成的回路的面积S=xl

而回路的总电阻R=2xr0

因此，作用于杆的安培力F=BIl

五、电磁感应中的双电源与电容器的综合问题

分析和计算含有电容器的直流电路时，关键是准确地判断并求出电容器的两端的电压。电容两极板间电压等于与电容器所在支路并联的导体两端电压，因此确定电容器和哪部分电路并联，该部分电路(或者电阻)两端电压即为电容器两端电压。当电容器和某一电阻串联后接在某一电路两端时，此电路两端电压即为电容器两端电压；而对于较复杂电路，需要将电容器两端的电势与基准点的电势比较后才能确定电容器两端的电压。

【例8】如图10所示，两个电阻的阻值分别为R和2R，其余电阻不计，电容器的电容为C，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，金属棒ab、cd的长度均为l，当棒ab以速度v向左做切割磁感线运动，棒cd以速度2v向右做切割磁感线运动时，电容器所带的电荷量为多少？哪一个极板带正电？

【解析】金属棒ab、cd做切割磁感线运动时，分别产生感应电动势E1=Blv、E2=2Blv，相当于两个电源，等效电路如图11所示。

电容器充电后相当于断路，右侧回路中没有电流，若设f点的电势为零，则c点电势为φc=E2=2Blv

设左侧回路中电流为I，由欧姆定律得

电阻R上的电流方向为f→e，则

六、由于磁场的运动形成的双电源问题

穿过回路中的磁通量变化时产生感应电动势，这是产生感应电动势的条件。而磁通量变化的方式很多，在有的情况下，导体并没有切割磁感线，也没有如上面所述的磁场发生变化，而是磁场运动起来，由于相对运动，同样在回路中产生感应电动势及感应电流。

【例8】如图12甲所示，与水平面成θ角的两根足够长的平行绝缘导轨，间距为L，导轨间有垂直导轨平面方向、等距离间隔的匀强磁场B1和B2，B1和B2的方向相反，大小相等，即B1=B2=B；导轨上有一质量为m的矩形金属框abcd，其总电阻为R，框的宽度ab与磁场间隔相同，框与导轨间动摩擦因数为μ；开始时，金属框静止不动，重力加速度为g；若t=0时磁场沿直导轨向上做匀加速直线运动；金属框经一段时间也由静止开始沿直导轨向上运动，其v-t关系如图12乙所示(CD段为直线，Δt、v1为已知)，求磁场的加速度大小。

【解析】图乙中A点，金属框静止不动，对金属框由平衡条件得：

2BIL=mgsinθ+μmgcosθ

当磁场以v0的瞬时速度运动时，由于相对运动，金属框bc、ad边同时切割磁感线，金属框中电动势为

E=2BLv0

对金属框在图乙中C点，由牛顿第二定律，则：

2BI1L-(mgsinθ+μmgcosθ)=ma

此时，由图乙可以看出金属框运动的瞬时速度为v1，设磁场运动的瞬时速度为vt，故金属框中电动势为

E1=2BL(vt-v1)

磁场匀加速运动的加速度大小等于金属框匀加速运动的加速度大小，则对磁场

vt=v0+aΔt