《线性代数》课程序言部分教学要点分析

康浩　付超　张鑫　侯美伶　孙永彪

摘 要：对大多数理工科专业而言，线性代数是一门十分重要的课程。线性代数的序言部分，主要是对线性代数课程进行宏观的介绍，并且引入二阶和三阶行列式的概念。教学中应该调节好学生的心理状态，注重定义以及之间的联系，突出重点进行讲解，以确保这部分内容的教学效果。

关键词：行列式 线性代数 序言 学习心理

《线性代数》是很多理工科专业的一门基础课程，是学习后续专业课程的基础课。同时，《线性代数》还是考研的必考科目。因此，搞好《线性代数》的教学工作具有重要的意义[1]。《线性代数》的序言部分是带领同学们进入线性代数殿堂的第一课，是学生们与线性代数的初次相识，“第一印象”十分重要。如果能够让学生们对线性代数的研究内容产生兴趣，充满信心，那么日后的教学过程都将变得简单。反过来说，如果学生们在听这部分内容的过程中不能对线性代数的研究对象进行透彻完整的了解，而只是被动地听到了教师对行列式、矩阵、向量组、方程组等等抽象的数学名词的乃至彼此之间关系的介绍，他们很可能就会对线性代数望而却步，日后再想让他们充满信心和兴趣可能相对就比较难了。总而言之，线性代数序言部分的讲解也是教学中很重要的一个环节，有必要对其教学要点进行分析。

一、教学内容总结

任何一门课程都有序言部分，《线性代数》课程的序言部分主要也是作为一个总开端，对《线性代数》进行介绍，导入后面的核心内容。从教学内容上看，序言部分包括两大方面：第一部分，主要是带领学生们认识《线性代数》这门课程，知道《线性代数》在整个专业培养计划中所处的地位，了解线性代数的研究对象与课程特色，掌握学习线性代数的方法；第二部分，主要是通过方程与行列式的关系，引入二阶和三阶行列式的定义、计算及简单的应用，为后续推广到n阶行列式的相关内容打好基础。

二、学生心态把握

大学生作为经过全国高考统一考试选拔出来的优秀人才，事实上，他们当中的大多数都是精力充沛，积极乐观，求知欲旺盛，此处主要分析学生中可能影响学习的负面心理，旨在有的放矢地促进教学效果。第一， 在课程设置上，《线性代数》多安排在第一学年的第二个学期上课，学生们在经历了大一上学期的《高等数学》的学习以后，多会对数学类课程产生一种“畏难”情绪，严重的甚至会厌烦数学类的课程。因此，作为一门数学类课程，《线性代数》首先可能会或多或少地受到學生们心理上的抵触，这就形成了《线性代数》的一个“先天劣势”。第二，课堂中的学生们往往来自不同的省份，数学功底各不相同，有的学生中学阶段没有学过任何行列式知识，有的学生甚至没有学过向量，从心理上，他们对序言部分内容的兴趣也是不同。第三，《线性代数》序言部分的讲授处于新学期的起始阶段，甚至被安排在新学期第一周的第一节课，好多学生经过了返回学校的行程，疲惫感还没有完全消除，也还没有从“假期综合症”中恢复过来。此时，学生们的心态还有所浮躁，对课程内容的吸收能力有限。第四，新学期新课程的开始阶段，学生们与教师也是初次见面，有些学生对教师本身的外在形象比较敏感，对于教师的教学特色和个人魅力还处于观望状态，对于课程本身的注意力不足，大部分同学还都存有首先观望老师的心态，想看看老师的“水平”，往往只有很少一部分同学会对即将开始的课程进行预习。第五，在当今的快节奏时代，各种各样的信息量铺天盖地，学生们主动或者被动地面对很多信息已经成为一种常态，学生们多重视应用，重视看得见摸得着的现实的事例，对于抽象的数学概念及数学逻辑兴趣不足，这也是线性代数序言教学中所无法忽视的。

三、教学设计分析

基于以上分析，在序言部分教学中应把握以下几个方面：第一，，讲解的深度宜浅不宜深，尽量从实际事例中引入方程组和行列式。对于二元线性方程组，如果用诸如“鸡兔同笼”问题引入，可以很容易地使学生们契入到对问题思考中，加强他们的参与意识，使他们很快进入角色。《线性代数》本身是一个复杂的课程，其中的行列式、方程组、向量组和矩阵等各种的概念互相交叉[2]，想学好是很不容易的。但在序言部分，如果过多地引用《线性代数》的专业术语，例如用逆序数法定义行列式[3]等等，这将增大学生们听课的难度，容易使得一部分学生从课程一开始就对《线性代数》望而却步。实际上，《线性代数》也有简单的一面，从一定程度上说，《线性代数》书中的概念与中学知识的衔接并不太大，它的几乎所有定义都是独立于之前的高中数学的函数、不等式、二次曲线等复杂数学知识的。学好《线性代数》并不需要很扎实的数学基础知识，只要学生们能够入门，能够进入到《线性代数》的思维方式，教学工作就成功了一大步，后续的具体计算中，大多也都是100以内的加减乘除，所以应极力避免一上来用复杂的讲解把学生“当头打蒙”，反过来说，深入浅出地讲解更有助于增强学生们的信心，持续不断地激发他们的学习兴趣。第二，对于《线性代数》的研究对象应该讲解到位。首先，应该要介绍清楚“线性”所代表的含义。“线性”，从运算上来讲，主要也就是加减和数乘运算，不涉及到变量之间的乘积。用学生们的知识结构可以理解的话来讲，《线性代数》研究的核心问题也就是解方程组。这样的一种讲解方式，更利于学生们对《线性代数》的研究内容进行整体的很好的把握，更容易把学习与应用结合起来。第三，应当要讲解好《线性代数》的学习方法。学习方法听起来虽然抽象，但能否把学习方法讲解好却是很考验一个教师对整门课程的把握的一个重要体现。毕竟，只有在对课程整体的很好的把握的前提下，才能高屋建瓴地提出对《线性代数》的最适宜的学习方法。对大多数高校《线性代数》课程的教学和期末考试而言，对思维深度的要求并不是很高。然而，线性代数涉及到行列式、矩阵、向量组、方程组等理论，各个理论独立完善且互相之间也都有联系，因此熟练地从一种理论叙述转换到另一种理论叙述是学完本课程后所应达到的对知识“学活学透”水平的一种体现，这对思维的灵活性要求很高。而达到这一水平的前提，就是要对定义有熟练透彻的掌握。线性代数的学习方法，也应当是重视对基本定义的掌握。为了达到这一目的，要有必要的练习。这个学习方法，应该跟学生们讲解透彻。第四，在课堂上要增强学生们的参与意识，要让他们成为推动课堂活动往下进展的主人，要让他们的大脑活动起来。例如，在消元法解二元线性方程组时，可以让学生们真正动手去做，让学生们亲身体会消元的过程，让他们自己去发现方程组的系数行列式出现的过程以及该行列式在方程组解的表达式中所处的位置。从而，使得行列式的引入不会显得特别突兀，也为学生们对后续课程中克莱默法则的学习产生良好的铺垫作用。通过构造系数行列式以及通过用方程组的常数项来替代系数行列式的列向量来构造行列式，通过此类行列式的比值来求解方程组是本节中的新的方法，应努力使学生们对此种求解方法产生新的印象，看到行列式在求解方程组中的不可替代的作用，这一过程，也应当努力想办法让学生们最大限度地参与进来，充分利用好课上时间，让他们学有所得。第五，要注意讲解好二阶和三阶行列式的定义。二阶与三阶行列式虽然简单，但是它们毕竟是不同于以前的新的定义，从行列式的形式到它的内容，都要让学生们建立起完整的概念。形式上，二阶行列式，就是两行两列的数表两边加上两个竖线，内容上，行列式是一个式子，对于数表中是已知数值的情况，行列式就是一个可以计算的数值。如果行列式中存在未知变量，那么行列式与一个数值的相等，就构成了一个方程。事实上，行列式的定义也包含了它的求解方法，行列式的表达式中很容易看出来它的计算方法——对角线法则。首先要把主对角线和副对角线的概念给学生们讲解清楚。对于行列式的表达式而言，每一个乘积项的元素都是由不同行不同列的元素所组成的，注意到这一点，学生们就不会丢落元素，而能够把行列式表达式完整准确地表示出来。同时很重要的是，应当要强调对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，对于高阶行列式，对角线法则将不再成立。事实上，如果结合后续章节中关于行列式的严格定义的话，容易知道，这主要是由于行列式表达式中参与加减的各个乘积项都是且是所有的不同行不同列的元素的乘积，对角线法则中所确定各个乘积项的方法显然不可能把所有的乘积项表达出来，所以，对角线法则对于4阶及更高阶的行列式不再成立是有充分理论支撑的。

结语

综上所述，《线性代数》课程序言部分的教学工作十分重要，它关系到学生们对线性代数整个这门课程的认识问题，关系到学生们学习的信心和学习的兴趣的问题。教学中应未雨绸缪，细致地把握好现场学生的心理状态，提前重点做好教学设计，深入浅出地开展讲解，激发学生的信心与能动性，为后续克莱默法则的教学打好直接的基础，也为《线性代数》教学开一个好头，为《线性代数》整体内容的教学做好铺垫。

参考文献

[1] 段炼，方贤文.线性代数教学中高阶行列式若干计算方法探究[J].教育教学论坛，2017（36）：195-196.

[2] 居余马等.线性代数（第2版）[M]. 北京：清华大学出版社，2002

[3] 刘玉军，陆宜清.线性代数[M]. 上海：上海科学技术出版社，2017.

作者简介

康浩（1987- ），男，汉族，河北行唐人，河北师范大学，讲师，博士，研究方向：建筑环境与能源应用工程专业相关课程教学。