由DZIOK-SRIVASTAVA算子定义的一类Bazilevi函数的Fekete-szegö 问题

杨颖颖 郭 栋

（滁州职业技术学院，安徽 滁州 239000）

1 引言

S表示H中的单叶函数族。

对于 U 内的解析函数 f（z）和 g（z），如果存在一个在 U 内解析的 Schwarz函数 ω（z）满足 ω（0） =0且使得 f（z） =g（ ω（z）） （z∈U），那么就说函数 f（z）从属于 g（z），写作 f（z）≺g（z）.1933年FEKETE和SZEGÖ在文献[1]中首先对单叶函数类S得出下列结果：

且对每个u等号都成立。

2007年，郭栋在文献[2]中研究了函数类

的 Fekete-Szegö不等式，显然 B（1，α，0）是 Bazilevič函数类，Bazilevič函数类是单叶函数类 S 的子类。

令 φ（z）是 U 内具有正实部且满足 φ（0）=1，φ′（0）＞0的解析函数，它把区域 U 映照到一个关于实轴对称且关于1星型的像域上，它的泰勒展式具有下述形式

其中 Bn∈R，B1＞0.

由 Pochhammer定义的符号（μ）n：

定义函数lFm（a1，…，al；d1，…，dm；z）如下：

利用函数lFm（a1，…，al；d1，…，dm；z），DZIOK 等[3]定义了如下线性算子（被普遍称为 Dziok-Srivastava算子）

为后面书写方便，简化记号，记

仿照函数类 B（λ，α，A，B，σ）的定义，利用算子lImf（z）定义了下列函数类。

定义1.1如果f∈H满足下列条件

其中 α≥0，λ≥0 则称函数 f（z）∈lBm（λ，α，φ）。

近年来许多作者[3-5]研究了由算子定义的函数类的Fekete-Szegö不等式，本文亦研究了函数类lBm（λ，α，φ）的 Fekete-Szegö的不等式，所得结果推广了已有的结论。

为得到结论，需要下面的引理：

引理 1.2[6]设在 U 内解析，且 Rep（z）＞0 则

引理1.3[7]如果p（z）=1+p1z+p2z2+p3z3+…是U内具有正实部的解析函数，则对任意的t∈C，有

2 主要结果

定理 2.1如果 f（z）由（1.1）式给出，并且 f（z）∈lBm（λ，α，φ），α + λ ＞ 0，则有

证明记

其中

因为 f（z）∈lBm（λ，α，φ），所以存在施瓦兹函数 r（z）（r（0）=0），满足

令

上式等价于

由（2.3）和（2.4）得

由（2.4）和（1.2）得

由（2.5）和（2.6）式，比较 z和 z2的系数，得

由（2.7）式，得

由（2.8）及（2.9）得

由（2.1）和（2.9）式及利用引理 1.2，得

由（2.1）和（2.10）及利用引理 1.3，得

由（2.1），（2.9），（2.10）及引理 1.2，得

在 Dziok-Srivastava 算子中令 l=2，m=1，a1=d1，a2=1，则lImf（z） ＝ f（z），由定理 2.1 得下列推论：

推论 2.2f（z）由（1.1）式给出，如果 f（z）∈B（λ，α，ρ），α + λ＞0，则有

定理 2.3如果 f（z）由（1.1）式给出，并且 f（z）∈lBm（λ，α，φ），α + λ＞0，则对任意的 τ∈C，有

且对所有的τ等号都是成立的。

证明由（2.9），（2.10），得

由（2.11）和引理 1.3，得

（2.1）式代入上式，得

当 f（z）取H中满足下列方程的函数时等号成立：

和

定理得证。