三维直流场“虫洞”

曹剑锋 张龙飞 靳天玉 梅中磊

(兰州大学信息科学与工程学院，甘肃 兰州 730000)

1 直流场“虫洞”概述

“虫洞”概念最早于1916年由奥地利物理学家Ludwig Flamm提出，是宇宙中可能存在的“捷径”，物体通过此“捷径”可以在瞬间进行时空转移，使得两个相距很远的局部空间瞬间变得很近。维持时空“虫洞”的常开状态需要具有“负能量”的奇异物质[1],因而能够真正改变时空拓扑结构的时空“虫洞”是不存在的。随着各学科之间的交叉融合，天文学中的“虫洞”理论被引入了其他研究领域，并取得了一定的科研成果，电磁“虫洞”便是“虫洞”理论在电磁学领域的一个重要应用。电磁“虫洞”主要依靠电磁隐形技术来搭建传输电磁波的隐蔽通道，电磁隐形特性使得该通道在特定电磁波频段是不可见的。因而对于电磁场而言，空间拓扑结构发生了变化。2007年，Greenleaf等人提出了“电磁虫洞”模型[2]，从理论上阐述了利用新型材料构建“电磁虫洞”的可行性及其在光子计算机、全息投影、磁共振成像等方面广阔的应用前景。

2015年8月，Carles Navau等人基于分离变量的方式论证了文中提出的“虫洞”确实可以改变磁场的空间拓扑结构[3]。同时，实验表明：磁偶极子通过对于磁场探头不可见的通道后能够表现为磁单极子，为各种磁单极子实验提供了前提条件。

本文进一步将“虫洞”理论引入了直流场领域，提出直流场“虫洞”模型，推导三维直流场“虫洞”装置的结构与材料参数。同时，仿真实现了能够传输直流场的隐形通道，进一步从模型仿真上验证了该理论的正确性。

2 直流场“虫洞”模型

直流场“虫洞”是指在空间中能够“隐蔽”传输直流场，并且不会被直流场探测设备能探测到的特殊装置。因此该直流场“虫洞”一定会涉及三维直流场隐形。直流场隐形可视为电磁隐形的一个特例，即在讨论的空间中没有电场与磁场之间的耦合[4]。近些年来，电磁隐形的相关研究得到了迅速的发展[5-7]，同时也加快了完善直流隐形相关理论的进程。对直流场隐形的基本要求是当在背景媒质中放置该装置时，该装置本身及其内部结构不会对外界电势分布造成任何影响，或者影响可以忽略。在此同时，空间中的直流场可以通过隐藏在隐形装置中的通道进行传输，而不对除通道另一端附近区域外的电势分布造成影响。我们通常利用电压表测量空间中放置隐形装置前后各点的电势变化，从而对隐形性能和“虫洞”功能进行验证。

图1 直流场“虫洞”物理模型(a) 三维直流场“虫洞”的结构示意图； (b) 理论上根据测量数据得到的空间结构图

根据理论要求，可建立如图1所示的物理模型。该装置主要由3部分组成，外壳、纵向贯穿的内核(简称内核，下同)以及圆柱通道。其中外壳是为了引导直流场的传输，防止直流场在材料发生突变时对周围媒质内的直流场发生较大的影响；内核为绝缘介质，其内部也是待隐形区域，可以防止待隐形物对外造成影响。圆柱通道内为各向异性的导电媒质，能够引导直流场在球体中定向传输。背景媒质在此模型中也起着重要的作用，因为电磁隐形模型都是针对一定的电磁频段而且各材料之间的电磁参数必须满足一定的关系，才能达到良好的隐形效果。

在该模型中，假设有一垂直于圆柱通道的匀强电场。从理论上，当我们在如图1(a)直流场空间中放置一球体时，其周围电场分布相对于均匀电场必定会发生改变。但当我们放置具有特殊参数设置的隐形材料时，直流场探测器如电压表探测到的隐形装置周围的直流场并不会发生明显的变化，即仪器探测得到的空间模型与图1(b)是等效的，直流场探测器并不能探测到隐形装置的存在。当然此处(a)等效于(b)仅指(a)中球体外部区域对于直流场探测设备是等同的，测量示数无明显差异。A，B之间的直流场通道，使得A处的直流场可通过通道进行转移，而且该通道对于直流场设备是不可探测的，即该通道的存在，对外界没有明显的影响。这就是直流场“虫洞”。

3 直流场“虫洞”材料参数的推导

如前所述，直流场“虫洞”装置需要借助直流场隐形装置得以实现。因此，我们分别对直流场隐形装置和传输直流场的“虫洞”通道参数进行了推导，具体推导过程如下。

图2 模型参数说明

首先分析隐形装置的材料参数。在推导过程中涉及到的模型如图2所示。根据此物理模型，我们可以建立相关的数学模型，在球坐标系下，基于分离变量求解拉普拉斯方程的方法[8]，推导相关材料的电磁参数，可以得到类似于文献[9]的结果。在稳定的无源直流场模型中，直流场分布满足拉普拉斯方程·(φ)=0，所以有

如果空间中存在大小为E0的匀强电场，则当r趋于无穷时，φ3趋于-E0rcosθ，由边界条件有

其中,σi(i=1,2,3)分别为φi对应的3个区域的电导率;绝缘内核σ1=0，保证了球核外部与内部的电场互不干扰。剩余的工作便是尽量减小外壳与周围介质交界处的直流场弯曲。根据不同媒质直流场边界条件，有

由此得到了在取得良好的隐形效果的前提下，背景媒质与外壳电导率参数的关系。最终，我们得到了三维直流隐形装置整体模型的材料参数。

图3 仿真模型(a) 为三维立体图; (b) 为过大圆且平行于底面的横截面。为了便于观察，三维图中未绘制前、上两侧面，以及1/4球体

为了得到隐形传输直流场的“虫洞”，可在上述直流场隐形模型中嵌入过球心的圆柱通道，如图3(a)所示。值得强调的是，由于该直流隐形模型中存在“虫洞”，该模型有异于完美的直流隐形模型。圆柱通道显然会使得该模型的精确理论求解变得复杂。但是，仍然可以借助于数值仿真说明该模型传输直流场的能力和近乎完美的直流隐形能力，从而实现“虫洞”传输效果。下面推导传输直流场的“虫洞”通道的材料参数。在直流场中欧姆定理的微分形式可以表示为

J=σE

本文所提出的直流场“虫洞”不仅能够将A端的直流场传输到B端，而且需要保证直流场在传输过程中不会大量“溢出”到“虫洞”通道外部区域。据此可以得到，通道轴向的电导率远大于径向电导率。因此，圆柱通道需要采用电导率各向异性的材料，例如由单面导电的石墨片绕制而成。

4 模型的仿真实现

为了说明直流场“虫洞”隐形传输直流场的能力，我们需要分别观察直流场隐形和“虫洞”传输直流场的效果。根据上述理论，我们在COMSOL软件中建立如图3所示仿真模型，为便于标注参数，可取平行于底面且过大圆的截面。需要指出的是，球形隐形装置的内核为绝缘体， 因此电导率为零，但此时软件仿真会报错。因此，在实际仿真过程中，设置电导率为σ1=10-12S/m。与壳层的电导率相差13个数量级。

图4 直流隐形仿真结果(a)，(b)，(c)均是与电极板垂直且与球大圆切面重合的平面上的等势线分布图。(d)过点P且与纸面垂直的直线上各点的电势分布

图4给出了仿真结果。图4(a)表示了在空间中仅存在背景媒质时，整个仿真空间的电势分布，由图中可知，在空间中存在由右向左的均匀电场，等势线均匀分布；图4(b)则对应了在背景媒质中放置第三小节中内核及圆柱通道时的情况。可以发现，球壳左右两侧的等势线发生了较为明显的弯曲，说明圆柱通道与内层球壳的存在对球壳周围的电场造成了较大的影响，等势线弯曲程度越大，影响程度也越大；与图4(b)相比，图4(c)中还在内核外包裹了球壳，即添加了隐形装置。与图4(a)中的电势分布相比，外壳以外区域的等势线与图4(a)基本保持一致。这说明当外层球壳与内核几何尺寸及材料参数满足一定的关系时，圆柱形通道、内核和外层球壳构成的装置能够得到很好的隐形效果，其存在不会对外界电场分布造成影响；从图4(d)中可以看出，图4(a)与图4(c)基本重合，图4(b)则很大程度上偏离了直线，说明图4(c)中外层球壳抵消了内核与圆柱形通道单独作用时对外部电场的影响，其外部电场与图4(a)保持一致，达到了良好的隐形效果。

仿真模型中，由于球形隐形装置的内核设置了非常小的电导率，会有微弱电流进入球形装置内部。当采用理想绝缘体时，这种情况不存在。图4容易给人造成一种错觉，即：从右侧流向左侧的电流，在圆柱形装置处不是断了吗？电流为什么不连续呢？事实上，在图4(b)的情况下，电流绕球形装置的表面流过，在左侧又汇集；在图4(c)的情况下，电流在外部的球形外壳流动，同样在左侧汇集。电流的连续性是满足的。仔细观察球壳内部的等势线方向，结合各部分电导率差异即可得到上述结论。关于电流分布，后面还有单独的仿真结果。

图5 直流场“虫洞”传输直流场仿真结果(a) 无虫洞时横截面电势分布； (b) 有虫洞时横截面电势分布； (c)图(d)中所在切面示意图； (d) 虫洞出口切面电势分布

下面，通过仿真分析该装置传输直流场的效果。图5用于说明该传输效果。图5(a)描述了隐形装置内部不包含圆柱形直流场通道，在距离球面2mm的A点人为设置100V电势时，整个空间中的电势分布情况。可以观察到，出口B处的电势分布与匀强电场情况下电势分布差异不大，但是，A处周围较大区域内的电势发生了较为明显的变化；在图5(b)中，我们同样在A点设置100V电势，但是，隐形装置内部添加了用于传输直流场的“虫洞”通道，从该情况下的电势分布可以发现，该“虫洞”一方面将A点的直流场引导到了出口B端，使得B端的电势分布近似于A端周围的电势分布，另一方面，“虫洞”通道的存在，使得A处100V电势的存在对周围匀强电场分布造成的影响范围明显小于图5(a)，说明该虫洞不仅能够传输直流场，还能够在一定程度上实现定向传输。为了进一步说明“虫洞”通道对直流场的传输效果，在图5(d)中还绘制了空间中特定平面上的电势分布。可以发现在出口位置处，电势发生了较大的变化，变化率接近于74%，变化十分明显，其余部分则变化较为平坦。

图6 直流场“虫洞”电流密度分布(a),(c)对应于过大圆且与底面平行的平面，(b),(d)则对应于过大圆且与电极板平行的平面，上下两组为施加点源前后电流分布

为了进一步验证“虫洞”的工作情况，我们对其周围的电流分布情况作了仿真分析。图6为在施加直流点源前后过大圆的两个横截面的电流分布。图中箭头的长度与电流密度成正比，方向则对应于该点电流密度方向。从图6(a),(b)中可以发现直流场隐形装置的存在几乎未对外界直流场电流的方向和大小造成影响。电流密度方向仅在隐形装置外壳处弯曲，电流密度在x,y,z3个方向上的分量之和应沿着球壳切线，且指向电势较低的方向。由于内部除“虫洞”外近似为绝缘体，因此尽管存在电势差，但是没出现电流，这与理论是相吻合的。由于绝大部分电流绕着外壳流动，未经过内核，支撑了电流的连续性。施加点源后，图6(c)、(d)整体与(a)、(b)相同，但是在虫洞通道处自点源所在入口到对应出口之间存在较大的电流，绝大部分电流通过“虫洞”被引导到另一端。从图6(d)可以发现，虫洞通道还存在着切线方向的电流，这是因为虫洞轴向和切线方向的电导率均远大于径向的电导率，而且入口处的电势径向分布不均，因此会存在切向电流，但它们对于外界而言是未知的。

至此，可以说明该直流场“虫洞”通道在传输直流场的同时，不会对外界的直流场分布造成影响，具有一定的隐形效果。

根据理论推导和仿真得到的参数结果，我们可以在此对实现直流场“虫洞”的相关材料作一展望。该直流“虫洞”内核可由3D打印机打印的塑料球体构成，外壳可由电导率为30S/m导电橡胶加工而成，而圆柱形直流场通道可以用石墨片卷制而成。由于氯化钾溶液具有较大的电导率[10]，可用于直流场“虫洞”装置的背景媒质。后期可以加工制作实物模型，并完成直流场“虫洞”的实际测试。

5 结语

本文基于对直流场“虫洞”的物理要求进行理论推导，搭建了直流场“虫洞”仿真模型，数值仿真表明此模型能够“隐蔽”地传输直流场。直流场“虫洞”模型的提出，在某种程度上能够为提高电信号传输的保密性和安全性提供一定的理论基础。

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